Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro- je zajednička stranica dviju susjednih bočnih ploha

Visina prizme- ovo je segment okomit na baze prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnovice ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina - zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočni rubovi su međusobno jednaki
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije s geometrijskim zadacima (dio stereometrija - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vraćanja korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

Dijagonala pravilne prizme čini pravokutni trokut s dijagonalom baze i visinom prizme. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Riješenje.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, stranicu baze (označenu kao a) nalazimo koristeći Pitagorin teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Kako izgleda pravilna četverokutna prizma? i dobio najbolji odgovor

Odgovor od Edit Piaf[guru]
Prizma je poliedar čije su dvije plohe (baze prizme) jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, a ostale plohe su paralelogrami čije su ravnine paralelne s pravom crtom. Paralelogrami AabB, BbcC itd. zovu se bočne strane; rebra Aa, Bb, Cc itd. nazivaju se bočna rebra. Visina prizme je svaka okomica spuštena iz bilo koje točke baze na ravninu druge baze. Ovisno o obliku mnogokuta koji leži na bazi, prizma može biti, redom: trokutna, četverokutna, peterokutna, šesterokutna itd. Ako su bočni bridovi prizme okomiti na ravninu baze, tada je takva prizma zove ravno; inače je to kosa prizma. Ako pravilni mnogokut leži u podnožju ravne prizme, tada se takva prizma naziva i pravilnom.
Pravilna prizma je ravna prizma čija je baza pravilan mnogokut, odnosno u ovom slučaju kvadrat.
Nacrtao sam ravnu prizmu, ali može biti i kosa

Odgovor od Sretan završetak[guru]
kocka

Odgovor od 3 odgovora[guru]

Zdravo! Ovdje je izbor tema s odgovorima na vaše pitanje: Kako izgleda pravilna četverokutna prizma?

U zadatku 13 Jedinstvenog državnog ispita osnovne razine bavit ćemo se problemima stereometrije, ali ne apstraktnim, već ilustrativnim primjerima. To mogu biti problemi na razini tekućine u posudama, o čemu sam govorio u nastavku, ili problemi s modificiranjem figure - na primjer, čiji su vrhovi odsječeni. Morate biti spremni donijeti odluku jednostavni zadaci u stereometriji - obično se svode na probleme na ravnini;

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 13 Jedinstvenog državnog ispita iz osnovne razine matematike

Opcija 13MB1

Voda u cilindričnoj posudi je na razini h = 80 cm. Na kojoj će razini biti voda ako se ulije u drugu cilindričnu posudu čiji je radijus dna 4 puta veći od ovog? Odgovorite u centimetrima.

Algoritam izvršenja:

1. Zapiši formulu za volumen cilindra.
2. Zamijenite vrijednosti za cilindar tekućinom u prvom i drugom slučaju.
3. Riješite dobivenu jednadžbu za drugu visinu h 2 .
4. Zamijenite podatke i izračunajte željenu vrijednost.

Riješenje:

Zapišimo formulu za volumen cilindra.

Ako ste zaboravili formulu za volumen cilindra, dopustite mi da vas podsjetim kako je lako možete izvesti. Volumen jednostavnih oblika kao što su kocke i cilindri može se izračunati množenjem površine baze s visinom. Površina baze u slučaju cilindra jednaka je površini kruga, kojeg se vjerojatno sjećate: π r 2.

Stoga je volumen cilindra jednak π r 2 h

Zamijenimo vrijednosti za cilindar tekućinom u prvom i drugom slučaju.

V 1 = π r 1 2 h 1

V 2 = π r 2 2 h 2

Volumen tekućine se nije promijenio, stoga se volumeni mogu izjednačiti.

Lijeve strane su jednake, što znači da desne strane mogu biti jednake.

π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2

Riješimo dobivenu jednadžbu s obzirom na drugu visinu h 2 .

h 2 – nepoznati faktor. Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom.

h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π r 2 2

Prema uvjetu osnovica je postala 4 puta veća, odnosno r 2 = 4 r 1.

Zamijenimo r 2 = 4 r 1 u izraz za h 1.

Dobivamo: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Rezultirajući razlomak smanjimo za π, dobivamo h 2 = (r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2

Rezultirajući ulomak smanjimo za r 1, dobivamo h 2 = h 1 / 16.

Zamijenimo poznate podatke: h 2 = 80/ 16 = 5 cm.

Opcija 13MB2

Zadane su dvije kutije u obliku pravilne četverokutne prizme. Prva je kutija četiri i pol puta viša od druge, a druga je tri puta šira od prve. Koliko je puta volumen prve kutije manji od volumena druge?

Algoritam izvršenja:

1. Pronađite omjer volumena.
2. Smanjite dobivenu frakciju.

Riješenje:

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Nađimo omjer volumena.

Prema uvjetu c 1 = 4,5 c 2 (prva kutija je četiri i pol puta veća od druge),

b 2 = 3 b 1 (druga kutija je tri puta šira od prve).

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 4,5/9 = ½.

Zapremina prve kutije je 2 puta manja od zapremnine druge.

Opcija 13MB3

Zadane su dvije kutije u obliku pravilne četverokutne prizme. Prva je kutija jedan i pol puta viša od druge, a druga je tri puta šira od prve. Koliko je puta volumen prve kutije manji od volumena druge?

Algoritam izvršenja:

1. Napiši formulu za izračun volumena pravilne četverokutne prizme.
2. Pišite opći pogled formula za pronalaženje volumena u prvom i drugom slučaju.
3. Pronađite omjer volumena.
4. Transformirajte dobiveni izraz uzimajući u obzir omjer mjerenja prve i druge prizme.
5. Smanjite dobivenu frakciju.

Riješenje:

Zapišimo formulu za izračun volumena pravilne četverokutne prizme.

Zapišimo u općem obliku formulu za pronalaženje volumena u prvom i drugom slučaju.

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Nađimo omjer volumena.

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2)

Transformirajmo dobiveni izraz uzimajući u obzir omjer mjerenja prve i druge prizme.

Prema uvjetu c 1 = 1,5 c 2 (prva kutija je jedan i pol puta veća od druge), b 2 = 3 b 1 (druga kutija je tri puta šira od prve).

Budući da se radi o pravilnim četverokutnim prizmama, u podnožju je kvadrat, što znači da je dubina druge kutije tri puta veća od dubine prve, odnosno a 2 = 3 a 1

Zamijenimo ove izraze u formulu omjera volumena:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

Smanjimo dobiveni razlomak za a 1 · b 1 · c 2 . Dobivamo:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 1,5/9 = 15/(10 9) = 3/(2 9 ) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Zapremina prve kutije je 6 puta manja od zapremnine druge.

Odgovor:6.

Opcija 13MB4

Svi njegovi vrhovi su ispiljeni iz drvene kocke (vidi sliku). Koliko stranica ima dobiveni poliedar (nevidljivi bridovi nisu prikazani na slici)?

Prvo se prisjetimo koliko stranica i vrhova kocka ima: šest stranica i osam vrhova. Sada se na mjestu svakog vrha nakon piljenja formira nova ploha, što znači da kocka modificirana u zadatku ima šest originalnih ploha i osam novih (nakon piljenja). Ukupno dobivamo: 6 + 8 = 14 lica.

Kad bi nas pitali koliko vrhova ima nova "kocka". Očito, ako su umjesto jedan tri, a ima ih samo osam, tada dobivamo: 8 3 = 24

Opcija 13MB5

Dana su dva cilindra. Polumjer baze i visina prvog valjka su 2 odnosno 6, a drugog - 6 i 4. Koliko je puta volumen drugog valjka veći od volumena prvog?

Algoritam izvršenja

1. Zapisujemo formulu za izračunavanje volumena cilindra.
2. Uvodimo oznaku za polumjer baze i visinu 1. valjka. Slične parametre 2. cilindra izražavamo na sličan način.
3. Oblikujemo formule za volumen 1. i 2. cilindra.
4. Izračunavamo omjer volumena.

Riješenje:

Volumen cilindra je: V=πR 2 H. Označimo radijus baze 1. valjka s R 1, a njegovu visinu s H 1. Sukladno tome polumjer baze 2. valjka označavamo s R 2, a visinu s H 2.

Odavde dobivamo: V 1 =πR 1 2 H 1, V 2 =πR 2 2 H 2.

Zapišimo potreban omjer volumena:

.

Zamjenjujemo numeričke podatke u dobivenu relaciju:

.

Zaključak: obujam 2. cilindra je 6 puta veći od obujma 1. cilindra.

Opcija 13MB6

U posudu u obliku ravne prizme ulije se 5 litara vode. Nakon što je dio potpuno uronjen u vodu, razina vode u spremniku porasla je 1,4 puta. Nađi obujam dijela. Odgovorite u kubičnim centimetrima, znajući da u jednoj litri ima 1000 kubičnih centimetara.

Algoritam izvršenja

1. Uvodimo oznake za volumen prije i nakon uranjanja dijela. Neka bude prema tome V 1 I V 2.
2. Popravljamo vrijednost za V 1. Izražavamo V 2 kroz V 1. Pronalaženje vrijednosti V 2.
3. Dobiveni rezultat u litrama pretvaramo u kubične cm.

Riješenje:

Volumen spremnika prije ronjenja V 1=5 (l). Jer nakon uranjanja dijela, volumen je postao jednak V 2. Prema stanju, povećanje je bilo 1,4 puta, tzv V 2=1,4V 1.

Odavde dobivamo: V 2=1,4·5=7 (l).

Dakle, razlika u volumenima, koja čini volumen dijela, jednaka je:

V 2 – V 1=7–5=2 (l).

2 l=2·1000=2000 (cc).

Opcija 13MB7

Voda u cilindričnoj posudi je na razini h = 80 cm. Na kojoj će razini biti voda ako se ulije u drugu cilindričnu posudu čiji je radijus baze dvostruko veći od prve? Odgovorite u centimetrima.

Algoritam izvršenja

1. Zapisujemo formulu za izračunavanje volumena cilindra.
2. Na temelju ove formule zapisujemo 2 jednadžbe - za izračun volumena vode u 1. i 2. posudi. Da bismo to učinili, koristimo odgovarajuće indekse 1 i 2 u formuli.
3. Budući da se voda jednostavno prelijeva iz jedne posude u drugu, njezin volumen se ne mijenja. Stoga izjednačavamo dobivene jednadžbe. Iz dobivene jedne jednadžbe nalazimo razinu vode u 2. posudi, izraženu visinom h 2.

Riješenje:

Volumen cilindra je: V=S baza h=πR 2 h.

Volumen vode u 1. posudi: V 1 =πR 1 2 h 1.

Volumen u 2. posudi: V 2 =πR 2 2 h 2.

Izjednačavamo V 1 I V 2: πR 1 2 h 1 =πR 2 2 h 2.

Smanjimo za π i izrazimo h 2:

.

Po stanju R 2=2R 1. Odavde:

Opcija 13MB8

Od drvene ispravne trokutasta prizma odrezao sve njegove vrhove (vidi sliku). Koliko vrhova ima dobiveni poliedar (nevidljivi bridovi nisu prikazani na slici)?

Algoritam izvršenja

1. Odredite broj vrhova trokutaste prizme.
2. Analizirajmo promjene koje će se dogoditi kada se pile svi vrhovi. Brojimo vrhove novog poliedra.

Riješenje:

Vrhovi prizme čine vrhove baza (gornje i donje). Kako su osnovice pravilne trokutaste prizme pravilni trokuti, onda takva prizma ima 3·2=6 vrhova.

Odsijecanjem vrhova prizme umjesto njih dobivamo male (u usporedbi s veličinom same prizme) trokute. Ovo je također prikazano na slici. Odnosno, umjesto svakog vrha formiraju se 3 nova. Posljedično, njihov će broj postati jednak: 6·3=18.

Opcija 13MB9

Date su dvije kutije u obliku pravilne četverokutne prizme koje stoje na postolju. Prva je kutija četiri i pol puta niža od druge, a druga je uža od prve. Koliko je puta volumen prve kutije veći od volumena druge?

Algoritam izvršenja

1. Uvodimo oznake za linearne parametre kutija i njihove volumene.
2. Određujemo ovisnost linearnih parametara prema stanju.
3. Zapisujemo formulu za izračunavanje volumena prizme.
4. Prilagodimo ovu formulu za volumen kutija.
5. Određivanje omjera volumena.

Riješenje:

Jer Oblik kutija je pravilna prizma, a zatim su im baze kvadrati. Stoga možemo označiti duljinu i širinu svake kutije jednako. Neka ovo bude za prvu kutiju a 1, a za drugo a 2. Sukladno tome označavamo visine kutija h 1 I h 2. Svesci – V 1 I V 2.

Prema stanju, h 2=4,5h 1, a 1=3a 2.

Volumen prizme jednak je: V=S glavni h. Jer onda postoji kvadrat u podnožju kutija S glavni =a 2. Odavde: V=a 2 h.

Za 1. kutiju imamo: V 1 =a 1 2 h 1. Za 2. kutiju: V 2 =a 2 2 h 2.

Tada dobivamo relaciju:

Opcija 13MB10

U posudi stožastog oblika razina tekućine doseže ½ visine. Zapremina posude 1600 ml. Koliki je volumen izlivene tekućine? Odgovorite u mililitrima.

Algoritam izvršenja

1. Dokazujemo da su stošci zadani u uvjetu slični.
2. Određujemo koeficijent sličnosti.
3. Koristeći svojstvo za volumene sličnih tijela, nalazimo volumen tekućine.

Riješenje:

Promatramo li presjek stošca duž njegove dvije nasuprotno smještene generatrise (osni presjek), vidimo da su tako dobiveni trokuti velikog i malog stošca (formiranog tekućinom) slični. To proizlazi iz jednakosti njihovih kutova. Oni. imamo: stošci imaju slične visine i polumjere baza. Iz toga zaključujemo: jer Ako su linearni parametri stožaca slični, onda su i čunji slični.

Prema uvjetu, visina malog stošca (tekućine) je ½ visine stošca. To znači da je koeficijent sličnosti između malog i velikog stošca ½.

Primjenjujemo sličnost tijela koja se sastoji u tome da se njihovi volumeni odnose kao koeficijent sličnosti u kocki. Označimo volumen velikog stošca V 1, mali – V 2. Dobivamo:

.

Budući da po uvjetu V 1=1600 ml, zatim V 2=1600/8=200 ml.

Opcija 13MB11

Date su dvije lopte polumjera 4 i 1. Koliko je puta volumen veće lopte veći od volumena manje?

Algoritam izvršenja

1. Zapisujemo formulu za izračunavanje volumena lopte.
2. Prilagodimo formulu za svaku od kuglica. Da bismo to učinili, koristimo indekse 1 i 2.
3. Volumni omjer zapišemo i izračunamo zamjenom brojčanih podataka iz uvjeta.

Riješenje:

Zapremina lopte izračunava se po formuli: .

Stoga je volumen 1. (veće) lopte jednak , 2. (manja) lopta – .

Kreirajmo omjer volumena:

Zamijenimo numeričke podatke iz uvjeta u dobivenu formulu:

Zaključak: Volumen veće lopte je 64 puta veći.

Opcija 13MB12

Dana su dva cilindra. Polumjer baze i visina prvog cilindra su 4 odnosno 18, a drugog - 2 i 3. Koliko je puta bočna površina prvog cilindra veća od bočne površine drugog ?

Algoritam izvršenja

1. Zapisujemo formulu za određivanje površine bočne površine cilindra.
2. Prepisujemo ga dva puta koristeći odgovarajuće indekse - za 1. (veći) i 2. (manji) cilindar.
3. Određivanje omjera površina. Omjere izračunavamo koristeći numeričke podatke iz uvjeta.

Riješenje:

Bočna površina cilindra izračunava se na sljedeći način: S=2πRH.

Za 1. cilindar imamo: S 1 =2π R 1 H 1. Za 2. cilindar: S2 =2π R2H2.

Napravimo omjer ovih površina:

Nađimo brojčanu vrijednost dobivenog omjera:

Zaključak: bočna površina 1. cilindra je 12 puta veća.

Opcija 13MB13

Homogena lopta promjera 3 cm teška je 162 grama. Koliko grama ima lopta promjera 2 cm, napravljena od istog materijala?

Algoritam izvršenja

1. Zapisujemo formulu za određivanje mase većih kuglica preko gustoće i volumena.
2. Volumen u ovoj formuli zapisan je kroz volumen lopte (kroz njen radijus).
3. Zapisujemo formulu za masu manje kuglice, a obujam preko polumjera (analogno 1. i 2. stavku).
4. Kako su obje kuglice napravljene od istog materijala, dobivenu vrijednost gustoće možemo koristiti u formuli za masu manje kuglice. Izračunavamo potrebnu masu.

Riješenje:

Masa veće (1.) lopte jednaka je: m 1 =ρ V 1. Volumen ove lopte je V 1 = Tekućina se ulije u spremnik u obliku pravilne četverokutne prizme sa stranicom baze jednakom 40 cm. Za mjerenje volumena dijela složenog oblika, on je potpuno uronjen u ovu tekućinu. Odredite volumen dijela ako se nakon uranjanja razina tekućine u spremniku podigne za 10 cm. Odgovorite u kubičnim centimetrima.

Algoritam izvršenja

1. Određujemo dio prizme koji odgovara volumenu uronjenog dijela.
2. Volumen dijela izračunavamo na temelju formule za određivanje volumena ravne prizme s kvadratom na bazi.

Riješenje:

Dio uronjen u tekućinu zauzima volumen koji odgovara stupcu tekućine čija je visina 10 cm, tj. razlika koja nastaje između početne visine tekućine i konačne (nakon uranjanja). To znači da dio ima volumen jednak dijelu tekućine koji zauzima volumen od 40x40x10 (cm).

Pronađimo ovaj volumen.

Vježba:

U pravilnoj četverokutnoj prizmi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 uzeta je točka K na rubu CC 1 tako da je SC: KS 1 = 1: 2.

a) Konstruirajte presjek prizme ravninom koja prolazi točkama D i K paralelno s dijagonalom osnovke AC.

b) Odredite kut između presječne ravnine i ravnine baze ako je CC 1 = 4,5√ 2, AB = 3.

Riješenje:

a) Kako je prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pravilna, onda je ABCD kvadrat, a bočne plohe su jednaki pravokutnici.

Konstruirajmo presjek prizme ravninom koja prolazi točkama D i K paralelno s AC. Sjecište presječne ravnine i ravnine AA 1 C 1 prolazi točkom K i paralelna je s AC.

U ravnini ACC 1 kroz točku K nacrtaj dužinu KF paralelnu s dijagonalom AC.

Kako su plohe A 1 ADD 1 i B 1 BCC 1 prizme paralelne, onda su, prema svojstvu paralelnosti ravnina, sjecišne linije presječne ravnine i tih ploha paralelne. Idemo PK || F D. Četverokut FPKD je potreban odjeljak.

b) Odredite kut između presječne ravnine i ravnine baze. Neka presječna ravnina siječe osnovnu ravninu po nekom pravcu p koji prolazi točkom D. AC || FK, dakle AC || p (ako ravnina prolazi pravcem paralelnim s drugom ravninom i siječe tu ravninu, tada je sjecište ravnina paralelno s tim pravcem). Kako su dijagonale kvadrata međusobno okomite, onda je BD ⊥ AC, što znači
BD ⊥ str. BD je projekcija PD na ravninu ABC, pa je PD ⊥ p prema teoremu o tri okomice. Stoga je ∠PDB linearni diedarski kut između rezne ravnine i osnovne ravnine.

FK || p, dakle FK ⊥ PD. U četverokutu FPKD imamo FD || PK i KD || FP, što znači da je FPKD paralelogram, a kako su pravokutni trokuti FAD i KCD jednaki na dvije katete (AD = DC kao stranice kvadrata, FA = KC kao udaljenost između paralelnih pravaca AC i F K), tada je FPKD romb. Stoga je PD = 2OD.

Prema CK uvjetu: KC 1 = 1: 2, tada je KC = 1/3*CC 1 = 4,5√2 / 3 = 1,5√2.

V Δ DKC prema Pitagorinom teoremu KD 2 = DC 2 + KC 2 , KD = =
√13,5.

AC = 3√2 kao dijagonala kvadrata, OK = EC = 1/2*AC, OK = 1,5√2.

V Δ KOD prema Pitagorinom teoremu OD 2 = KD 2 − OK 2,

OD= = 3. PD = 2OD = 6.

U pravokutni trokut PDB cos ∠PDB = BD / PD = 3√2 / 6 = √2 / 2, dakle ∠PDB = 45◦.

Odgovor: 45◦.

Što sam pronašao na web stranici DataGenetics. Sve pogreške vezane uz ovaj članak šaljite privatnim porukama.

U ovom problemu, postoji 100 zatvorenika u zatvoru, svaki od njih je označen brojevima od 1 do 100. Zatvorski čuvar odluči dati zatvorenicima priliku da budu pušteni, kaže im uvjete testa i ako svi zatvorenici prođu test, onda će biti pušteni. Ako i jedan od njih padne na testu, svi će zatvorenici umrijeti.

Zadatak

Tamničar odlazi u tajnu sobu i priprema 100 kutija s poklopcima. Na svaku kutiju stavi brojeve označene brojevima od 1 do 100. Zatim donese 100 papirnatih pločica, prema broju zatvorenika, i označi te pločice brojevima od 1 do 100. Nakon toga pomiješa 100 pločica i stavi po jednu pločicu u svaku kutiju, zatvaranje poklopca . Zatvorenici ne vide kako tamničar izvodi sve te radnje.

Počinje natjecanje, tamničar odvodi svakog zatvorenika jednog po jednog u sobu s kutijama i govori zatvorenicima da moraju pronaći kutiju koja će sadržavati znak s brojem zatvorenika. Zatvorenici pokušavaju pronaći svoju tablicu otvaranjem kutija. Svaka osoba smije otvoriti do 50 kutija; ako svaki od zatvorenika pronađe svoj broj, tada će zatvorenici biti pušteni, ako barem jedan od njih ne pronađe svoj broj u 50 pokušaja, tada će svi zatvorenici umrijeti.

Da bi zatvorenici bili pušteni, SVI zatvorenici moraju proći test.

Kolika je onda šansa da zatvorenici budu pomilovani?

• Nakon što je zatvorenik otvorio kutiju i provjerio znak, ona se vraća u kutiju i poklopac se ponovno zatvara;
• Ploče se ne mogu mijenjati na mjestima;
• Zatvorenici ne mogu ostavljati tragove jedni drugima niti komunicirati jedni s drugima na bilo koji način nakon što test započne;
• Zatvorenicima je dopušteno razgovarati o strategiji prije početka testa.

Koja je najbolja strategija za zatvorenike?

Dodatno pitanje:

Ako će suzatvorenik (koji nije sudionik testa) imati priliku ući u tajnu sobu prije početka testa, pregledajte sve znakove u svim kutijama i (po želji, ali nije obavezno) zamijenite dva znaka iz dvije kutije ( u ovom slučaju, prijatelj neće imati priliku - obavijestiti zatvorenike o rezultatu svojih postupaka), koju bi strategiju trebao poduzeti da poveća šanse zatvorenika za spas?

Je li rješenje malo vjerojatno?

Na prvi pogled, ovaj zadatak izgleda gotovo beznadno. Čini se da je šansa da svaki zatvorenik pronađe svoj znak mikroskopski mala. Osim toga, zatvorenici ne mogu međusobno razmjenjivati ​​informacije tijekom testiranja.

Šanse jednog zatvorenika su 50:50. Postoji samo 100 kutija, a on može otvoriti do 50 kutija u potrazi za svojim znakom. Ako slučajno otvori kutije i otvori polovicu svih kutija, pronaći će svoj znak u otvorenoj polovici kutija ili će njegov znak ostati u zatvorenih 50 kutija. Njegove šanse za uspjeh su ½.

Uzmimo dva zarobljenika. Ako oboje nasumično izaberu okvire, šanse za svakog od njih bit će ½, a za oboje ½x½=¼.
(za dva zatvorenika uspjeh će biti u jednom od četiri slučaja).

Za tri zatvorenika izgledi će biti ½ × ½ × ½ = ⅛.

Za 100 zatvorenika izgledi su: ½ × ½ × … ½ × ½ (pomnoženo 100 puta).

Ovo je jednako

Pr ≈ 0,00000000000000000000000000000008

Odnosno, ovo je vrlo mala šansa. U ovoj situaciji, najvjerojatnije će svi zatvorenici biti mrtvi.

Nevjerojatan odgovor

Kad bi svaki zatvorenik otvorio kutije nasumce, malo je vjerojatno da bi prošao test. Postoji strategija u kojoj zatvorenici mogu očekivati ​​uspjeh u više od 30% slučajeva. Ovo je zapanjujuće nevjerojatan rezultat (ako još niste čuli za ovaj matematički problem).

Više od 30% za svih 100 zatvorenika! Da, ovo je čak bolje od mogućnosti za dva zatvorenika, pod uvjetom da nasumično otvaraju kutije. Ali kako je to moguće?

Jasno je da za svakog zatvorenika po jedan, šanse ne mogu biti veće od 50% (uostalom, komunikacija među zatvorenicima ne postoji). Ali ne zaboravite da su informacije pohranjene u rasporedu ploča unutar kutija. Nitko ne mijenja znakove između pojedinačnih posjeta zatvorenika sobi, tako da možemo koristiti ovu informaciju.

Riješenje

Prvo ću vam reći rješenje, a zatim ću objasniti zašto funkcionira.

Strategija je izuzetno laka. Prvi zatvorenik otvara kutiju s brojem ispisanim na njegovoj odjeći. Na primjer, zatvorenik broj 78 otvara kutiju s brojem 78. Ako pronađe svoj broj na znaku unutar kutije, to je super! Ako nije, gleda broj na pločici u "svojoj" kutiji i zatim otvara sljedeću kutiju s tim brojem. Nakon što je otvorio drugu kutiju, pogledao je broj ploče unutar te kutije i otvorio treću kutiju s tim brojem. Zatim ovu strategiju jednostavno prenosimo na preostale kutije. Radi jasnoće pogledajte sliku:

Na kraju će zatvorenik ili pronaći svoj broj ili dosegnuti ograničenje od 50 kutija. Na prvi pogled ovo se čini besmislenim u usporedbi s jednostavnim nasumičnim odabirom kutije (a za jednog pojedinačnog zatvorenika i jest), ali budući da će svih 100 zatvorenika koristiti isti set kutija, ima smisla.

Ljepota ovog matematičkog problema nije samo poznavanje rezultata, već i razumijevanje Zašto ova strategija funkcionira.

Dakle, zašto strategija funkcionira?

Svaka kutija sadrži jedan znak - i taj je znak jedinstven. To znači da je ploča u kutiji s istim brojem ili pokazuje na drugu kutiju. Budući da su svi znakovi jedinstveni, za svaku kutiju postoji samo jedan znak koji pokazuje na nju (i samo jedan način da se dođe do te kutije).

Ako bolje razmislite, kutije tvore zatvoreni kružni lanac. Jedna kutija može biti dio samo jednog lanca, budući da unutar kutije postoji samo jedan pokazivač na sljedeću i, sukladno tome, u prethodnoj kutiji postoji samo jedan pokazivač na ovu kutiju(programeri mogu vidjeti analogiju s povezanim listama).

Ako kutija ne pokazuje sama na sebe (broj kutije je jednak broju ploče u njoj), tada će biti u lancu. Neki se lanci mogu sastojati od dvije kutije, neki su duži.

Budući da svi zatvorenici počinju s kutijom s istim brojem kao i njihova odjeća, oni su, po definiciji, smješteni na lanac koji sadrži njihov znak (postoji samo jedan znak koji pokazuje na tu kutiju).

Istražujući okvire u krugu duž ovog lanca, zajamčeno je da će na kraju pronaći svoj znak.

Ostaje samo pitanje hoće li u 50 poteza pronaći svoj znak.

Duljina lanca

Da bi svi zatvorenici prošli test, maksimalna duljina lanca mora biti manja od 50 kutija. Ako je lanac dulji od 50 kutija, zatvorenici s brojevima iz tih lanaca pasti će na testu - i svi će zatvorenici biti mrtvi.

Ako je najveća duljina najdužeg lanca manja od 50 kutija, tada će svi zatvorenici položiti test!

Razmislite o ovome na trenutak. Ispada da u bilo kojem rasporedu ploča može postojati samo jedan lanac duži od 50 kutija (imamo samo 100 kutija, pa ako je jedan lanac duži od 50, onda će ostali na kraju biti kraći od 50) .

Šanse za raspored s dugim lancem

Nakon što ste se uvjerili da maksimalna duljina lanca za uspjeh mora biti manja ili jednaka 50, a može postojati samo jedan dugi lanac u bilo kojem skupu, možemo izračunati vjerojatnost prolaska testa:

Još malo matematike

Dakle, što nam je potrebno da shvatimo vjerojatnost postojanja dugog lanca?

Za lanac duljine l, vjerojatnost da će kutije biti izvan tog lanca jednaka je:

U ovoj zbirci brojeva ima (l-1)! načini postavljanja znakova.

Preostale znakove možete pronaći (100-l)! načine (ne zaboravite da duljina lanca ne prelazi 50).

S obzirom na to, broj permutacija koje sadrže lanac točne duljine l: (>50)

Ispada da postoji 100(!) načina za raspored znakova, pa je vjerojatnost postojanja lanca duljine l jednaka 1/l. Usput, ovaj rezultat ne ovisi o broju kutija.

Kao što već znamo, može postojati samo jedna opcija u kojoj postoji lanac duljine > 50, pa se vjerojatnost uspjeha izračunava pomoću ove formule:

Proizlaziti

31,18% - vjerojatnost da će veličina najdužeg lanca biti manja od 50 i da će svaki od zatvorenika moći pronaći svoj znak, s obzirom na ograničenje od 50 pokušaja.

Vjerojatnost da će svi zatvorenici pronaći svoje znakove i proći test je 31,18%

Ispod je grafikon koji prikazuje vjerojatnosti (na y-osi) za sve lance duljine l (na x-osi). Crvena boja predstavlja sve "greške" (ovdje data krivulja samo je 1/l grafikon). Zelena boja znači "uspjeh" (izračun je malo kompliciraniji za ovaj dio grafikona, jer postoji nekoliko načina za određivanje maksimalne duljine<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Harmonijski broj (ovaj dio članka je za geekove)

U matematici, n-ti harmonijski broj je zbroj recipročnih vrijednosti prvih n uzastopnih brojeva u prirodnom nizu.

Izračunajmo limit ako umjesto 100a kutija imamo proizvoljno veliki broj kutija (pretpostavimo da imamo ukupno 2n kutija).

Euler-Mascheronijeva konstanta je konstanta definirana kao granica razlike između parcijalnog zbroja harmonijskog niza i prirodnog logaritma broja.

Kako se broj zatvorenika povećava, ako upravitelj dopusti zatvorenicima da otvore polovicu svih kutija, tada šanse za spas teže 30,685%

(Ako ste donijeli odluku u kojoj zatvorenici nasumično pogađaju kutije, tada kako se broj zatvorenika povećava, vjerojatnost spasa teži nuli!)

Dodatno pitanje

Sjeća li se još netko sljedećeg pitanja? Što naš korisni suputnik može učiniti da poveća naše šanse za preživljavanje?

Sada već znamo rješenje, tako da je strategija ovdje jednostavna: mora proučiti sve znakove i pronaći najduži lanac kutija. Ako je najduži lanac manji od 50, onda ne treba uopće mijenjati pločice ili ih mijenjati tako da najdulji lanac ne postane duži od 50. Međutim, ako pronađe lanac dulji od 50 kutija, sve što treba učiniti je zamijeniti sadržaj dviju kutija iz tog lanca kako bi se lanac podijelio u dva kraća lanca.

Kao rezultat ove strategije, neće biti dugih lanaca i svi će zatvorenici zajamčeno pronaći svoj znak i spas. Dakle, zamjenom dva znaka smanjujemo vjerojatnost spasa na 100%!