Poglavlje 1. Diskretna slučajna vrijednost
§ 1. Pojmovi slučajne varijable.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable.
Definicija : Slučajna je veličina koja, kao rezultat testiranja, uzima samo jednu vrijednost iz mogućeg skupa svojih vrijednosti, unaprijed nepoznatih i ovisno o slučajnim razlozima.
Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane.
Definicija : Poziva se slučajna varijabla X diskretna (diskontinuirano) ako je skup njegovih vrijednosti konačan ili beskonačan, ali prebrojiv.
Drugim riječima, moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable mogu se prenumerirati.
Slučajna varijabla može se opisati korištenjem zakona distribucije.
Definicija : Zakon distribucije diskretne slučajne varijable nazovite korespondenciju između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihove vjerojatnosti.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se specificirati u obliku tablice, u čijem su prvom retku sve moguće vrijednosti slučajne varijable navedene uzlaznim redoslijedom, au drugom redu odgovarajuće vjerojatnosti tih vrijednosti, tj.
gdje je r1+ r2+…+ rn=1
Takva se tablica naziva serija distribucije diskretne slučajne varijable.
Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada niz p1+ p2+…+ pn+… konvergira i njegov zbroj je jednak 1.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se prikazati grafički, za što se konstruira isprekidana linija u pravokutnom koordinatnom sustavu koja povezuje sekvencijalne točke s koordinatama (xi; pi), i=1,2,…n. Rezultirajuća linija se zove distribucijski poligon (Sl. 1).
Organska kemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organska kemija su 0,7 odnosno 0,8. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ispita koje će student položiti.
Riješenje. Razmatrana slučajna varijabla X kao rezultat ispita može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti: x1=0, x2=1, x3=2.
Nađimo vjerojatnost ovih vrijednosti. Označimo događaje:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Dakle, zakon raspodjele slučajne varijable X dan je tablicom:
Kontrola: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funkcija distribucije
Potpuni opis slučajne varijable također daje funkcija distribucije.
Definicija: Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x:
F(x)=P(X<х)
Geometrijski, funkcija distribucije tumači se kao vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost koja je na brojevnom pravcu predstavljena točkom koja leži lijevo od točke x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) je neopadajuća funkcija na (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinuirano lijevo u točkama x= xi (i=1,2,...n) i kontinuirano u svim ostalim točkama;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ako je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X dan u obliku tablice:
tada je funkcija distribucije F(x) određena formulom:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 za x≤ x1,
r1 na x1< х≤ x2,
F(x)= r1 + r2 u x2< х≤ х3
1 za x>xn.
Njegov graf je prikazan na sl. 2:
§ 3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable.
Važne numeričke karakteristike uključuju očekivana vrijednost.
Definicija: Matematičko očekivanje M(X) diskretna slučajna varijabla X je zbroj umnožaka svih njezinih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti:
M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn
Matematičko očekivanje služi kao karakteristika prosječne vrijednosti slučajne varijable.
Svojstva matematičkog očekivanja:
1)M(C)=C, gdje je C konstantna vrijednost;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
5)M(X±C)=M(X)±C, gdje je C konstantna vrijednost;
Za karakterizaciju stupnja disperzije mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti koristi se disperzija.
Definicija: Varijanca D ( x ) slučajna varijabla X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Disperzijska svojstva:
1)D(C)=0, gdje je C konstantna vrijednost;
2)D(X)>0, gdje je X slučajna varijabla;
3)D(C X)=C2 D(X), gdje je C konstantna vrijednost;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
Za izračun varijance često je zgodno koristiti formulu:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
gdje je M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn
Varijanca D(X) ima dimenziju kvadrata slučajne varijable, što nije uvijek zgodno. Stoga se vrijednost √D(X) također koristi kao pokazatelj disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable.
Definicija: Standardna devijacija σ(X) slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijance:
Zadatak br. 2. Diskretna slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije:
Nađite P2, funkciju distribucije F(x) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X).
Riješenje: Budući da je zbroj vjerojatnosti mogućih vrijednosti slučajne varijable X jednak 1, tada
R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Nađimo funkciju distribucije F(x)=P(X Geometrijski, ova se jednakost može protumačiti na sljedeći način: F(x) je vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je na brojčanoj osi predstavljena točkom koja leži lijevo od točke x. Ako je x≤-1, tada je F(x)=0, jer ne postoji niti jedna vrijednost ove slučajne varijable na (-∞;x); Ako je -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ako je 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) postoje dvije vrijednosti x1=-1 i x2=0; Ako 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ako 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ako je x>3, tada je F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, jer četiri vrijednosti x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 spadaju u interval (-∞;x) i x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pri x≤-1, 0,1 na -1<х≤0, 0,2 na 0<х≤1, F(x)= 0,5 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 Predstavimo funkciju F(x) grafički (slika 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Binomni zakon raspodjele diskretna slučajna varijabla, Poissonov zakon. Definicija: Binomni
naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja A u n neovisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi s vjerojatnošću p ili ne dogoditi s vjerojatnošću q = 1-p. Zatim se P(X=m) - vjerojatnost pojavljivanja događaja A točno m puta u n pokušaja izračunava pomoću Bernoullijeve formule: R(H=m)=Smnpmqn-m Matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable X raspoređene prema binarnom zakonu nalaze se pomoću formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Vjerojatnost događaja A - "ispadanje petice" u svakom pokušaju je ista i jednaka 1/6 , tj. P(A)=p=1/6, tada je P(A)=1-p=q=5/6, gdje je - "nedobivanje A." Slučajna varijabla X može poprimiti sljedeće vrijednosti: 0;1;2;3. Pronalazimo vjerojatnost svake od mogućih vrijednosti X pomoću Bernoullijeve formule: R(H=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; R(H=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; R(H=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; R(H=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Da. zakon distribucije slučajne varijable X ima oblik: Kontrola: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Nađimo numeričke karakteristike slučajne varijable X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Zadatak br. 4. Automatski stroj štanca dijelove. Vjerojatnost da će proizvedeni dio biti neispravan je 0,002. Odredite vjerojatnost da će među 1000 odabranih dijelova biti: a) 5 neispravnih; b) najmanje jedan je neispravan. Riješenje:
Broj n=1000 je velik, vjerojatnost proizvodnje neispravnog dijela p=0,002 je mala, a događaji koji se razmatraju (pokazuje se da je dio neispravan) su neovisni, stoga vrijedi Poissonova formula: Rn(m)= e-
λ
λm Nađimo λ=np=1000 0,002=2. a) Odredite vjerojatnost da će biti 5 neispravnih dijelova (m=5): R1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Odredite vjerojatnost da će barem jedan dio biti neispravan. Događaj A - "barem jedan od odabranih dijelova je neispravan" je suprotan događaju - "svi odabrani dijelovi nisu neispravni." Prema tome, P(A) = 1-P(). Stoga je željena vjerojatnost jednaka: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Zadaci za samostalan rad.
1.1
1.2.
Raspršena slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije: Nađite p4, funkciju distribucije F(X) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X). 1.3.
U kutiji je 9 markera, od kojih 2 više ne pišu. Nasumično uzmite 3 markera. Slučajna varijabla X je broj markera za pisanje među uzetima. Nacrtati zakon raspodjele slučajne varijable. 1.4.
Na polici knjižnice nalazi se 6 udžbenika nasumično poredanih, od kojih su 4 uvezana. Knjižničar nasumce uzima 4 udžbenika. Slučajna varijabla X je broj ukoričenih udžbenika među uzetima. Nacrtati zakon raspodjele slučajne varijable. 1.5.
Na listiću su dva zadatka. Vjerojatnost ispravnog rješavanja prvog problema je 0,9, drugog 0,7. Slučajna varijabla X je broj točno riješenih zadataka na listiću. Nacrtajte zakon distribucije, izračunajte matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable, a također pronađite funkciju distribucije F(x) i izgradite njezin grafikon. 1.6.
Tri strijelca gađaju metu. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,5 za prvog strijelca, 0,8 za drugog i 0,7 za trećeg. Slučajna varijabla X je broj pogodaka u metu ako strijelci pucaju jedan po jedan. Pronađite zakon raspodjele, M(X),D(X). 1.7.
Košarkaš ubacuje loptu u koš s vjerojatnošću da će pogoditi svaki šut od 0,8. Za svaki pogodak dobiva 10 bodova, a ako promaši ne dobiva bodove. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj poena koje je košarkaš primio u 3 udarca. Nađite M(X),D(X), kao i vjerojatnost da dobije više od 10 bodova. 1.8.
Na karticama su ispisana slova, ukupno 5 samoglasnika i 3 suglasnika. Nasumično se biraju 3 karte i svaki put se uzeta karta vraća natrag. Slučajna varijabla X je broj samoglasnika među uzetima. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite M(X),D(X),σ(X). 1.9.
U prosjeku 60% ugovora Osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u svezi s nastupom osiguranog slučaja. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ugovora za koje je isplaćen iznos osiguranja među četiri slučajno odabrana ugovora. Odredite brojčane karakteristike te veličine. 1.10.
Radio postaja šalje pozivne znakove (ne više od četiri) u određenim intervalima dok se ne uspostavi dvosmjerna komunikacija. Vjerojatnost primanja odgovora na pozivni znak je 0,3. Slučajna varijabla X je broj poslanih pozivnih znakova. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite F(x). 1.11.
Ima 3 ključa od kojih samo jedan odgovara bravi. Napravite zakon raspodjele slučajne varijable X-broj pokušaja otvaranja brave, ako isprobani ključ ne sudjeluje u sljedećim pokušajima. Pronađite M(X),D(X). 1.12.
Provode se uzastopna neovisna testiranja pouzdanosti tri uređaja. Svaki sljedeći uređaj testira se samo ako se prethodni pokazao pouzdanim. Vjerojatnost prolaska testa za svaki uređaj je 0,9. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X-broj testiranih uređaja. 1.13
.Diskretna slučajna varijabla X ima tri moguće vrijednosti: x1=1, x2, x3 i x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok elektroničkog uređaja sadrži 100 identičnih elemenata. Vjerojatnost kvara svakog elementa tijekom vremena T je 0,002. Elementi rade neovisno. Odredite vjerojatnost da tijekom vremena T neće otkazati više od dva elementa. 1.15.
Udžbenik je objavljen u nakladi od 50.000 primjeraka. Vjerojatnost da je udžbenik krivo uvezan je 0,0002. Odredite vjerojatnost da cirkulacija sadrži: a) četiri neispravne knjige, b) manje od dvije neispravne knjige. 1
.16.
Broj poziva koji pristignu na PBX svake minute raspoređuje se prema Poissonovom zakonu s parametrom λ=1,5. Nađite vjerojatnost da će za minutu stići sljedeće: a) dva poziva; b) najmanje jedan poziv. 1.17.
Nađite M(Z),D(Z) ako je Z=3X+Y. 1.18.
Dati su zakoni raspodjele dviju neovisnih slučajnih varijabli: Nađite M(Z),D(Z) ako je Z=X+2Y. odgovori:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 pri x≤-2, 0,3 na -2<х≤0, F(x)= 0,5 na 0<х≤2, 0,9 u 2<х≤5, 1 na x>5 0,3 na -1<х≤0, 0,4 na 0<х≤1, F(x)= 0,6 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 na x≤0, 0,03 na 0<х≤1, F(x)= 0,37 na 1<х≤2, 1 za x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2. Poglavlje. Kontinuirana slučajna varijabla
Definicija: Stalan
je veličina čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju konačni ili beskonačni raspon brojevnog pravca. Očito je da je broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable beskonačan. Kontinuirana slučajna varijabla može se odrediti pomoću funkcije distribucije. Definicija: F distribucijska funkcija
kontinuirana slučajna varijabla X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost određuje xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Funkcija distribucije se ponekad naziva i kumulativna funkcija distribucije. Svojstva funkcije distribucije:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije je kontinuirana u bilo kojoj točki i diferencijabilna posvuda, osim, možda, u pojedinačnim točkama. 3) Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u jedan od intervala (a;b), [a;b], [a;b], jednaka je razlici između vrijednosti funkcije F(x) u točkama a i b, tj. R(a)<Х 4) Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti jednu zasebnu vrijednost je 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Određivanje kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedini način. Uvedimo pojam gustoće distribucije vjerojatnosti (gustoće distribucije). Definicija
:
Gustoća distribucije vjerojatnosti
f
(
x
)
kontinuirane slučajne varijable X je derivacija njene distribucijske funkcije, tj.: Funkcija gustoće vjerojatnosti ponekad se naziva funkcija diferencijalne distribucije ili zakon diferencijalne distribucije. Graf distribucije gustoće vjerojatnosti f(x) naziva se krivulja distribucije vjerojatnosti
.
Svojstva distribucije gustoće vjerojatnosti:
1) f(x) ≥0, na xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" visina ="62 src="> 0 pri x≤2, f(x)= c(x-2) na 2<х≤6, 0 za x>6. Odredite: a) vrijednost c; b) funkciju distribucije F(x) i nacrtati je; c) P(3≤x<5) Riješenje:
+
∞ a) Vrijednost c nalazimo iz uvjeta normalizacije: ∫ f(x)dx=1. Prema tome, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x ako 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 na x≤2, F(x)= (x-2)2/16 na 2<х≤6, 1 za x>6. Graf funkcije F(x) prikazan je na slici 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 na x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π na 0<х≤√3, 1 za x>√3. Pronađite funkciju diferencijalne distribucije f(x) Riješenje:
Budući da je f(x)= F’(x), tada https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za disperzirane slučajne varijable, vrijede i za one kontinuirane. Zadatak br. 3. Slučajna varijabla X određena je diferencijalnom funkcijom f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemi za samostalno rješavanje.
2.1.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije: 0 pri x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= - cos 3x pri π/6<х≤ π/3, 1 za x> π/3. Nađite funkciju diferencijalne distribucije f(x), a također R(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 pri x≤2, f(x)= c x na 2<х≤4, 0 za x>4. 2.4.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije: 0 pri x≤0, f(x)= c √x na 0<х≤1, 0 za x>1. Nađi: a) broj c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> na x, 0 na x. Nađite: a) F(x) i konstruirajte njegov graf; b) M(X),D(X), σ(X); c) vjerojatnost da će u četiri neovisna pokusa vrijednost X poprimiti točno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4). 2.6.
Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X dana je: f(x)= 2(x-2) na x, 0 na x. Nađite: a) F(x) i konstruirajte njegov graf; b) M(X),D(X), σ (X); c) vjerojatnost da će u tri neovisna pokušaja vrijednost X poprimiti točno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu . 2.7.
Funkcija f(x) dana je kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funkcija f(x) dana je kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Odredite: a) vrijednost konstante c pri kojoj će funkcija biti gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable X; b) funkcija raspodjele F(x). 2.9.
Slučajna varijabla X, koncentrirana na interval (3;7), određena je funkcijom distribucije F(x)= . Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimit će vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7. 2.10.
Slučajna varijabla X, koncentrirana na interval (-1;4), dana je funkcijom raspodjele F(x)= . Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimit će vrijednost: a) manju od 2, b) ne manju od 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Nađi: a) broj c; b) M(X); c) vjerojatnost P(X> M(X)). 2.12.
Slučajna varijabla određena je funkcijom diferencijalne distribucije: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Nađi: a) M(X); b) vjerojatnost P(X≤M(X)) 2.13.
Rem distribucija dana je gustoćom vjerojatnosti: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> za x ≥0. Dokažite da je f(x) doista funkcija gustoće vjerojatnosti. 2.14.
Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X dana je: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Sl. 4) 2.16.
Slučajna varijabla X distribuira se prema zakonu “ pravokutni trokut"u intervalu (0;4) (slika 5). Nađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu. Odgovori
0 pri x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x pri π/6<х≤ π/3, 0 za x> π/3. Kontinuirana slučajna varijabla X ima jednoliki zakon distribucije na određenom intervalu (a;b), koji sadrži sve moguće vrijednosti X, ako je gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) konstantna na tom intervalu i jednaka 0 izvan njega. , tj. 0 za x≤a, f(x)= za a<х 0 za x≥b. Graf funkcije f(x) prikazan je na sl. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Zadatak br. 1. Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena na segmentu. Pronaći: a) gustoću distribucije vjerojatnosti f(x) i nacrtajte je; b) funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je; c) M(X),D(X), σ(X). Riješenje:
Koristeći formule o kojima smo raspravljali gore, s a=3, b=7, nalazimo: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> na 3≤h≤7, 0 za x>7 Izgradimo njegov grafikon (Sl. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 na x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Sl. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 na x<0, f(x)= λe-λh za x≥0. Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspodijeljena prema eksponencijalnom zakonu, dana je formulom: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (H)= Stoga su matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije međusobno jednaki. Vjerojatnost da X padne u interval (a;b) izračunava se po formuli: Godišnje<Х Zadatak br. 2. Prosječno vrijeme rada uređaja bez kvara je 100 sati. Uz pretpostavku da vrijeme rada uređaja bez kvara ima eksponencijalni zakon raspodjele, pronađite: a) gustoća distribucije vjerojatnosti; b) distribucijska funkcija; c) vjerojatnost da će vrijeme rada uređaja bez greške prijeći 120 sati. Riješenje:
Prema uvjetu, matematička distribucija M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 na x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x za x≥0. b) F(x)= 0 na x<0, 1-e -0,01x pri x≥0. c) Željenu vjerojatnost nalazimo pomoću funkcije distribucije: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3. Zakon normalne distribucije Definicija:
Kontinuirana slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije (Gaussov zakon),
ako njegova gustoća distribucije ima oblik: gdje je m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Krivulja normalne distribucije naziva se normalna ili Gaussova krivulja
(Sl.7) Funkcija distribucije slučajne varijable X, distribuirana prema normalnom zakonu, izražava se preko Laplaceove funkcije F (x) prema formuli: gdje je Laplaceova funkcija. Komentar:
Funkcija F(x) je neparna (F(-h)=-F(h)), osim toga, za x>5 možemo pretpostaviti da je F(h) ≈1/2. Graf funkcije distribucije F(x) prikazan je na sl. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Vjerojatnost da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja δ izračunava se formulom: Konkretno, za m=0 vrijedi jednakost: "Pravilo tri sigme"
Ako slučajna varijabla X ima normalan zakon raspodjele s parametrima m i σ, tada je gotovo sigurno da njezina vrijednost leži u intervalu (a-3σ; a+3σ), jer https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Upotrijebimo formulu: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Iz tablice vrijednosti funkcije F(h) nalazimo F(1,5)=0,4332, F(1)=0,3413. Dakle, željena vjerojatnost: P(28 Zadaci za samostalan rad
3.1.
Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena u intervalu (-3;5). Pronaći: b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerojatnost P(4<х<6). 3.2.
Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena na segmentu. Pronaći: a) gustoća raspodjele f(x); b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerojatnost P(3≤h≤6). 3.3.
Na autocesti postoji automatski semafor na kojem je zeleno svjetlo upaljeno 2 minute, žuto 3 sekunde, crveno 30 sekundi itd. Automobil se vozi autocestom u slučajnom trenutku. Nađite vjerojatnost da će automobil proći pored semafora bez zaustavljanja. 3.4.
Vlakovi podzemne voze redovito u intervalima od 2 minute. Putnik ulazi na peron u nasumično određeno vrijeme. Kolika je vjerojatnost da će putnik morati čekati vlak više od 50 sekundi? Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X - vrijeme čekanja vlaka. 3.5.
Nađite varijancu i standardnu devijaciju eksponencijalne distribucije dane funkcijom distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-8x za x≥0. 3.6.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije vjerojatnosti: f(x)= 0 na x<0, 0,7 e-0,7x pri x≥0. a) Navedite zakon raspodjele slučajne varijable o kojoj se radi. b) Pronađite funkciju distribucije F(X) i numeričke karakteristike slučajne varijable X. 3.7.
Slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu određenom gustoćom distribucije vjerojatnosti: f(x)= 0 na x<0, 0,4 e-0,4 x pri x≥0. Odredite vjerojatnost da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (2,5;5). 3.8.
Kontinuirana slučajna varijabla X raspoređena je prema eksponencijalnom zakonu određenom funkcijom distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-0,6x pri x≥0 Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz segmenta. 3.9.
Očekivana vrijednost i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable su 8 i 2. Pronađite: a) gustoća raspodjele f(x); b) vjerojatnost da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (10;14). 3.10.
Slučajna varijabla X normalno je raspodijeljena s matematičkim očekivanjem od 3,5 i varijancom od 0,04. Pronaći: a) gustoća raspodjele f(x); b) vjerojatnost da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz segmenta . 3.11.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana s M(X)=0 i D(X)=1. Koji je od događaja: |X|≤0,6 ili |X|≥0,6 vjerojatniji? 3.12.
Slučajna varijabla X raspodijeljena je normalno s M(X)=0 i D(X)=1 Iz kojeg je intervala (-0,5;-0,1) ili (1;2) veća vjerojatnost da će uzeti vrijednost tijekom jednog testa? 3.13.
Trenutna cijena po dionici može se modelirati korištenjem normalnog zakona distribucije s M(X)=10 den. jedinice i σ (X)=0,3 den. jedinice Pronaći: a) vjerojatnost da će trenutna cijena dionice biti od 9,8 den. jedinice do 10,4 dana jedinice; b) pomoću „pravila tri sigme“ pronađite granice unutar kojih će se nalaziti trenutna cijena dionice. 3.14.
Tvar se važe bez sustavnih grešaka. Slučajne pogreške vaganja podliježu normalnom zakonu sa srednjim kvadratnim omjerom σ=5g. Odredite vjerojatnost da se u četiri neovisna pokusa neće pojaviti pogreška u tri vaganja u apsolutnoj vrijednosti 3r. 3.15.
Slučajna varijabla X normalno je raspodijeljena s M(X)=12,6. Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (11,4;13,8) je 0,6826. Nađite standardnu devijaciju σ. 3.16.
Slučajna varijabla X raspodijeljena je normalno s M(X)=12 i D(X)=36 Nađite interval u koji će slučajna varijabla X pasti kao rezultat testa s vjerojatnošću 0,9973. 3.17.
Dio proizveden automatskim strojem smatra se neispravnim ako odstupanje X njegovog kontroliranog parametra od nazivne vrijednosti prelazi modulo 2 mjerne jedinice. Pretpostavlja se da je slučajna varijabla X normalno distribuirana s M(X)=0 i σ(X)=0,7. Koliki postotak neispravnih dijelova proizvodi stroj? 3.18.
Parametar X dijela distribuira se normalno s matematičkim očekivanjem 2 jednakim nominalnoj vrijednosti i standardnom devijacijom od 0,014. Odredite vjerojatnost da odstupanje X od nominalne vrijednosti neće prijeći 1% od nominalne vrijednosti. Odgovori
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 za x≤-3, F(x)= lijevo"> 3.10.
a)f(x)= , b) R(3,1≤H≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤H≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Definicija 13.1. Poziva se slučajna varijabla X diskretna, ako uzima konačan ili prebrojiv broj vrijednosti. Definicija 13.2. Zakon distribucije slučajne varijable X je zbirka parova brojeva ( , ), gdje su moguće vrijednosti slučajne varijable, a su vjerojatnosti s kojima slučajna varijabla poprima te vrijednosti, tj. = P( x= ), i =1. Najjednostavniji oblik određivanja diskretne slučajne varijable je tablica koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti. Ova tablica se zove blizu distribucije diskretna slučajna varijabla. Niz distribucije može se prikazati grafički. U ovom slučaju, os apscisa je , a os ordinata je vjerojatnost . Točke s koordinatama ( , ) spajaju se segmentima i dobiva se izlomljena linija tzv distribucijski poligon,što je jedan od oblika zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable. Primjer 13.3. Konstruirajte poligon distribucije slučajne varijable X s nizom distribucije Definicija 13.4. Kažu da diskretna slučajna varijabla X ima binomna distribucija s parametrima ( n, str)ako može uzeti nenegativne cjelobrojne vrijednosti k {1,2,…,n) s vjerojatnostima P( X=x)=
. Serija distribucije izgleda ovako: Zbroj vjerojatnosti =
=1. Definicija 13.5. Kaže se da je diskretni oblik slučajne varijable x Ima Poissonova distribucija s parametrom (>0), ako prihvaća cjelobrojne vrijednosti k(0,1,2,...) s vjerojatnostima P( X=k)= . Distribucijska serija ima oblik Budući da proširenje Maclaurinova niza ima sljedeći oblik, tada je zbroj vjerojatnosti = = =1. Označimo sa x broj pokušaja koji se moraju dovršiti prije nego što se događaj pojavi A u neovisnim ispitivanjima, ako je vjerojatnost da se A pojavi u svakom od njih jednaka str (0<str <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями x su prirodni brojevi. Definicija 13.6. Kažu da je slučajna varijabla x Ima geometrijska raspodjela s parametrom str (0<str <1), если она принимает натуральные значения k N s vjerojatnostima R(H=k)= , gdje je .
Raspon distribucije: Zbroj vjerojatnosti = = =1. Primjer 13.7. Novčić se baca 2 puta. Sastavite niz distribucije slučajne varijable X broj pojavljivanja “grba”. P 2 (0)= = ; P2 (1) = = =0,5; P 2 (2)= = . Niz distribucije će imati oblik: Primjer 13.8. Iz puške se puca do prvog pogotka u metu. Vjerojatnost pogotka jednim udarcem je 0,6. Bit će pogodak na 3. udarcu. Jer str=0,6, q=0,4, k=3, tada P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096. Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu, ali je često nepoznat, pa se moramo ograničiti na manje informacija. Ponekad je još isplativije koristiti brojeve (parametre) koji ukupno opisuju slučajnu varijablu. Zovu se numeričke karakteristike nasumična varijabla. To uključuje: matematičko očekivanje, varijancu itd. Definicija 14.1. Matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti. Označava matematičko očekivanje slučajne varijable x preko M x=M( x)=E x. Ako je slučajna varijabla x uzima konačan broj vrijednosti, tada M x= . Ako je slučajna varijabla x uzima prebrojiv broj vrijednosti, tada M x= , Štoviše, matematičko očekivanje postoji ako niz apsolutno konvergira. Napomena 14.2. Matematičko očekivanje je broj približno jednak određenoj vrijednosti slučajne varijable. Primjer 14.3. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable x, znajući njegovu seriju distribucije M x=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9. Primjer 14.4. Nađite matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja A u jednom pokušaju, ako je vjerojatnost događaja A jednak str. Slučajna vrijednost x– broj pojavljivanja događaja A u jednom testu. Može poprimiti vrijednosti =1 ( A dogodilo) s vjerojatnošću str i =0 s vjerojatnošću, tj. serija distribucije Stoga je MC=C*1=C. Napomena 14.6. Umnožak konstantne varijable C i diskretne slučajne varijable x Definirano kao diskretna slučajna varijabla C x, čije su moguće vrijednosti jednake produktima konstante C i mogućih vrijednosti x, vjerojatnosti ovih vrijednosti C x jednaka vjerojatnosti odgovarajućih mogućih vrijednosti x. Svojstvo 14.7. Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja: M(S x)=S∙M x. Ako je slučajna varijabla x ima distribucijsku seriju Niz distribucije slučajne varijable M(S x)= = = S∙M( x). Definicija 14.8. Pozivaju se slučajne varijable , ,… nezavisna, ako za , ja=1,2,…,n R( , ,…, )= R( ) R( )… R( ) (1) Ako je kao =, ja=1,2,…,n, tada dobivamo iz (1) R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула: ( , ,…, ) = () ()... () (2) za zajedničku funkciju distribucije slučajnih varijabli , ,…, , što se može uzeti i kao definicija neovisnosti slučajne varijable. Svojstvo 14.9. Matematičko očekivanje umnoška 2 nezavisna slučajnih varijabli jednak je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: M( XY)=M x∙M U. Nekretnina 14.10. Matematičko očekivanje zbroja 2 slučajne varijable jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja: M( X+Y)=M x+M U. Napomena 14.11. Svojstva 14.9 i 14.10 mogu se generalizirati na slučaj nekoliko slučajnih varijabli. Primjer 14.12. Nađite matematičko očekivanje zbroja bodova koji se mogu pojaviti pri bacanju 2 kocke. Neka x broj bodova bačenih na prvoj kockici U broj bodova bačenih na drugoj kockici. Imaju istu seriju distribucije: Zatim M x=M U= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7. Teorem 14.13. Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja A V n neovisnih pokusa jednaka je umnošku broja pokusa i vjerojatnosti da će se događaj dogoditi u svakom pokusu: M x=n.p.. Neka x– broj pojavljivanja događaja A V n nezavisni testovi. – broj pojavljivanja događaja A V ja-taj test, ja=1,2,…,n. Tada je = + +…+ . Prema svojstvima matematičkog očekivanja M x= . Iz primjera 14.4 M X i=p, i=1,2,…,n, dakle M x= =n.p.. Definicija 14.14.Varijanca slučajna varijabla se zove broj D x=M( x-M x) 2 . Definicija 14.15.Standardna devijacija nasumična varijabla x pozvani broj =. Napomena 14.16. Disperzija je mjera širenja vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Uvijek je nenegativan. Za izračun varijance prikladnije je koristiti drugu formulu: D x= M( x-M x) 2 = M( x 2 - 2X∙ M x+ (M x) 2) = M( x 2) - 2M( X∙ M x) + M(M x) 2 = =M( x 2)-M X∙ M X+(M x) 2 =
M( x 2) - (M x) 2 . Stoga D x= M( x 2) - (M x) 2 . Primjer 14.17. Pronađite varijancu slučajne varijable x, dano nizom distribucije M x=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( x 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3; D x=13.3-(3,5) 2 =1,05. Disperzijska svojstva Svojstvo 14.18. Varijanca konstantne vrijednosti je 0: DC = M(C-MC) 2 = M(C-C) 2 =0. Svojstvo 14.19. Konstantni faktor može se izuzeti iz predznaka disperzije kvadriranjem D(C x) =C 2 D x. D(CX)=M(C-CM x) 2 =M(C(X- M x) 2) = C 2 M( x-M x) 2 = C 2 D x. Svojstvo 14.20. Varijanca zbroja 2 nezavisna slučajnih varijabli jednak je zbroju varijanci tih varijabli D( X+Y)=D x+D Y. D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( X2+ 2XY+Y2) - (M x+M Y) 2 = =M( x) 2 +2M x M Y+M( Y 2)-(M( x) 2 +2M x M Y+M( Y) 2)= M( x 2)-(M x) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = = D x+D Y. Posljedica 14.21. Varijanca zbroja nekoliko nezavisna slučajnih varijabli jednak je zbroju njihovih varijanci. Teorem 14.22. Varijacija broja pojavljivanja događaja A V n neovisni testovi, u svakom od kojih je vjerojatnost p) 2 =). Stoga D +2, Pojmovi matematičkog očekivanja M(x) i varijanca D(x), uveden ranije za diskretnu slučajnu varijablu, može se proširiti na kontinuirane slučajne varijable. · Matematičko očekivanje M(x)
kontinuirana slučajna varijabla X određena je jednakošću: uz uvjet da taj integral konvergira. · Varijanca D(x)
kontinuirana slučajna varijabla x određena je jednakošću:
· Standardna devijacijaσ( x)
kontinuirana slučajna varijabla određena je jednakošću:
Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za diskretne slučajne varijable, vrijede i za one kontinuirane. Problem 5.3. Slučajna vrijednost x dana diferencijalnom funkcijom f(x): Pronaći M(x), D(x),
σ( x),
i P(1 < x< 5). Riješenje: M(x)=
= +
=
8/9 0+9/6 4/6=31/18, D(x)=
=
=
/
P 1
=
Zadaci 5.1.
x f(x),
i R(‒1/2 < x< 1/2). 5.2.
Kontinuirana slučajna varijabla x dana distribucijskom funkcijom: Pronađite funkciju diferencijalne distribucije f(x),
i R(2π /9< x< π /2). 5.3.
Kontinuirana slučajna varijabla x Odredi: a) broj S; b) M(x), D(x).
5.4.
Kontinuirana slučajna varijabla x dano gustoćom distribucije: Odredi: a) broj S; b) M(x), D(x).
5.5.
x: Pronađi) F(x) i izgraditi njegov graf; b) M(x), D(x),
σ( x);
c) vjerojatnost da u četiri neovisna pokusa vrijednost xće uzeti točno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4). 5.6.
Zadana je gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x: Pronađi) F(x) i izgraditi njegov graf; b) M(x), D(x),
σ( x);
c) vjerojatnost da u tri neovisna pokusa vrijednost xće uzeti točno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu. 5.7.
Funkcija f(x) daje se u obliku: S x; b) funkcija distribucije F(x).
5.8.
Funkcija f(x) daje se u obliku: Odredite: a) vrijednost konstante S, pri čemu će funkcija biti gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable x; b) funkcija distribucije F(x).
5.9.
Slučajna vrijednost x, koncentrirana na intervalu (3;7), određena je funkcijom distribucije F(x)=
x poprimit će vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7. 5.10.
Slučajna vrijednost x, sa središtem u intervalu (-1;4), specificirana je funkcijom distribucije F(x)=
. Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimit će vrijednost: a) manju od 2, b) manju od 4. 5.11.
Odredi: a) broj S; b) M(x);
c) vjerojatnost R(X > M(x)).
5.12.
Slučajna varijabla određena je funkcijom diferencijalne distribucije: Pronađi) M(x);
b) vjerojatnost R(X ≤ M(x)).
5.13.
Rem distribucija dana je gustoćom vjerojatnosti: Dokaži to f(x) je doista funkcija gustoće vjerojatnosti. 5.14.
Zadana je gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x: Pronađite broj S. 5.15.
Slučajna vrijednost x raspoređen prema Simpsonovom zakonu (istokračni trokut) na segmentu [-2;2] (sl. 5.4). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu. Riža. 5.4 Sl. 5.5 5.16.
Slučajna vrijednost x raspoređeni prema zakonu “pravokutnog trokuta” u intervalu (0;4) (sl. 5.5). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu. Odgovori P (-1/2<x<1/2)=2/3. P(2π /9<x< π /2)=1/2. 5.3.
A) S=1/6, b) M(x)=3 , c) D(x)=26/81. 5.4.
A) S=3/2, b) M(x)=3/5, c) D(x)=12/175. b) M(x)=
3 , D(x)=
2/9, σ( x)=
/3. b) M(x)=2 , D(x)=
3 , σ( x)=
1,893. 5.7.
a) c = ; b) 5.8.
A) S=1/2; b) 5.9.
a) 1/4; b) 0. 5.10.
a) 3/5; b) 1. 5.11.
A) S= 2; b) M(x)=
2; u 1- ul 2 2 ≈ 0,5185. 5.12.
A) M(x)=
π /2; b) 1/2 Provjerimo da li je zadovoljen zahtjev jednolike ograničenosti varijance. Napišimo zakon raspodjele Nađimo matematičko očekivanje Nađimo varijancu Ova funkcija raste, tako da izračunate konstantu koja ograničava varijancu, možete izračunati granicu: Dakle, varijance zadanih slučajnih varijabli su neograničene, što je i trebalo dokazati. B) Iz formulacije Čebiševljevog teorema proizlazi da je zahtjev jednolike ograničenosti varijanci dovoljan, ali ne i nužan uvjet, stoga se ne može tvrditi da se ovaj teorem ne može primijeniti na dati niz. Niz neovisnih slučajnih varijabli X 1, X 2, ..., X n, ... zadan je zakonom raspodjele D(X n)=M(X n 2)- 2, Imajte na umu da je M(X n) = 0, naći ćemo (izračuni su prepušteni čitatelju da dovrši) Pretpostavimo privremeno da se n kontinuirano mijenja (kako bismo naglasili ovu pretpostavku, n označavamo s x), i ispitajmo funkciju φ(x) = x 2 /2 x-1 za ekstrem. Izjednačujući prvu derivaciju ove funkcije s nulom, nalazimo kritične točke x 1 = 0 i x 2 = ln 2. Odbacimo prvu točku jer nije od interesa (n nema vrijednost jednaku nuli); lako je vidjeti da u točkama x 2 =2/ln 2 funkcija φ(x) ima maksimum. Uzimajući u obzir da je 2/ln 2 ≈ 2,9 i da je N pozitivan cijeli broj, izračunavamo varijancu D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 za cijele brojeve najbliže broju 2,9 (lijevo i desno), t.e. za n=2 i n=3. Za n=2, disperzija D(X 2)=2α 2, za n=3 disperzija D(X 3)=9/4α 2. Očito, (9/4)α 2 > 2α 2 . Dakle, najveća moguća varijanca je (9/4)α 2, tj. varijance slučajnih varijabli Xn jednoliko su ograničene brojem (9/4)α 2 . Niz neovisnih slučajnih varijabli X 1 , X 2 , …, X n , … zadan je zakonom distribucije Je li Čebiševljev teorem primjenjiv na dati niz? Komentar. Budući da su slučajne varijable X identično raspodijeljene i neovisne, čitatelj upoznat s Khinchinovim teoremom može se ograničiti na izračun samo matematičkog očekivanja i uvjeriti se da je ono potpuno. Budući da su slučajne varijable Xn neovisne, one su još više neovisne o parovima, tj. prvi zahtjev Chebyshevljevog teorema je zadovoljen. Lako je ustanoviti da je M(X n)=0, tj. prvi zahtjev konačnosti matematičkih očekivanja je zadovoljen. Ostaje provjeriti je li zadovoljen zahtjev jednolike ograničenosti varijanci. Prema formuli D(X n)=M(X n 2)- 2, uzmemo u obzir da je M(X n)=0, nalazimo Dakle, najveća moguća varijanca je 2, tj. varijance slučajnih varijabli X n jednoliko su ograničene brojem 2. Dakle, svi zahtjevi Chebyshevljevog teorema su zadovoljeni, stoga je ovaj teorem primjenjiv na niz koji se razmatra. Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat testa, vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (0, 1/3). Slučajna varijabla X određena je na cijeloj osi Ox funkcijom raspodijeljenom F(x)=1/2+(arctg x)/π. Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat testa, vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (0, 1). Vjerojatnost da X poprimi vrijednost sadržanu u intervalu (a, b) jednaka je prirastu funkcije distribucije na tom intervalu: P(a P(0<
Х <1) = F(1)-F(0)
= x =1 -
x =0
= 1/4 Funkcija X distribucije slučajne varijable Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat testa, vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (-1, 1). Vjerojatnost da X poprimi vrijednost sadržanu u intervalu (a, b) jednaka je prirastu funkcije distribucije na tom intervalu: P(a P(-1<
Х <1) = F(1)-F(-1)
= x =-1
– x =1
= 1/3. Funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable X (vrijeme rada bez greške nekog uređaja) jednaka je F(x)=1st -x/ T (x≥0). Odredite vjerojatnost besprijekornog rada uređaja za vrijeme x≥T. Vjerojatnost da X poprimi vrijednost sadržanu u intervalu x≥T jednaka je prirastu funkcije distribucije na ovom intervalu: P(0 P(x≥T) = 1 - P(T Slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije Odredite vjerojatnost da će X kao rezultat testa poprimiti vrijednost: a) manju od 0,2; b) manje od tri; c) najmanje tri; d) najmanje pet. a) Kako je za x≤2 funkcija F(x)=0, onda je F(0, 2)=0, tj. P(x< 0, 2)=0; b) P(X< 3) = F(3) = x =3
= 1.5-1 = 0.5; c) događaji X≥3 i X<3 противоположны,
поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая,
что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) =
1-0.5 = 0.5; d) zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja jednak je jedan, dakle P(X≥5)+P(X<5)=1. Отсюда, используя условие,
в силу которого при х>4 funkcija F(x)=1, dobivamo P(X≥5) = 1-P(X<5) = 1-F(5)
= 1-1 = 0. Slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat četiri neovisna pokušaja, vrijednost X točno tri puta poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (0,25, 0,75). Vjerojatnost da X poprimi vrijednost sadržanu u intervalu (a, b) jednaka je prirastu funkcije distribucije na tom intervalu: P(a P(0,25< X <0.75) =
F(0.75)-F(0.25) =
0.5 Stoga, , ili Slučajna varijabla X određena je na cijeloj osi Ox funkcijom distribucije. Pronađite moguću vrijednost koja zadovoljava uvjet: s vjerojatnošću će slučajni X kao rezultat testa poprimiti vrijednost veću Riješenje. Događaji i su suprotni, dakle . Stoga, . Od tad. Prema definiciji funkcije distribucije, . Stoga, , ili Diskretna slučajna varijabla X dana je zakonom raspodjele Dakle, tražena funkcija distribucije ima oblik Diskretna slučajna varijabla X dana je zakonom raspodjele Pronađite funkciju distribucije i nacrtajte njezin graf. Dana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X Nađite gustoću distribucije f(x). Gustoća distribucije jednaka je prvoj derivaciji funkcije distribucije: Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije u intervalu; izvan ovog intervala. Nađite vjerojatnost da X poprimi vrijednost koja pripada intervalu . Upotrijebimo formulu. Po uvjetu, i. Prema tome, tražena vjerojatnost Kontinuirana slučajna varijabla X dana je gustoćom distribucije Upotrijebimo formulu. Po uvjetu, i Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X u intervalu (-π/2, π/2) jednaka je f(x)=(2/π)*cos2x ; izvan ovog intervala f(x)=0. Odredite vjerojatnost da će u tri neovisna pokušaja X uzeti točno dvostruko veću vrijednost sadržanu u intervalu (0, π/4). Upotrijebimo formulu P(a P(0 Odgovor: π+24π. fx=0, pri x≤0cosx, pri 0 Koristimo formulu Ako je x ≤0, tada je f(x)=0, dakle, F(x)=-∞00dx=0. Ako je 0 F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx. Ako je x≥ π2, tada F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1. Dakle, tražena funkcija raspodjele Fx=0, pri x≤0sinx, pri 0 Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X dana je: Fx=0, pri x≤0sinx, pri 0 Nađite funkciju distribucije F(x). Koristimo formulu Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X određena je na cijeloj Ox osi jednakošću . Pronađite konstantni parametar C. Tako, Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable određena je na cijeloj osi jednakošću Nađi konstantni parametar C. Riješenje. Gustoća raspodjele mora zadovoljiti uvjet. Zahtijevamo da ovaj uvjet bude zadovoljen za zadanu funkciju: Najprije pronađimo neodređeni integral: Zatim izračunavamo nepravi integral: Tako, Zamjenom (**) u (*), konačno dobivamo . Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X u intervalu jednaka je ; izvan ovog intervala f(x) = 0. Pronađite konstantni parametar C. Najprije pronađimo neodređeni integral: Zatim izračunavamo nepravi integral: Zamjenom (**) u (*), konačno dobivamo . Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X određena je u intervalu jednakošću ; izvan ovog intervala f(x) = 0. Pronađite konstantni parametar C. Riješenje. Gustoća raspodjele mora zadovoljavati uvjet, ali kako je f(x) izvan intervala jednaka 0, dovoljno je da ona zadovoljava: Najprije pronađimo neodređeni integral: Zatim izračunavamo nepravi integral: Zamjenom (**) u (*), konačno dobivamo . Slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije ƒ(x) = 2x u intervalu (0,1); izvan ovog intervala ƒ(x) = 0. Nađite matematičko očekivanje vrijednosti X. R Zamjenom a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, dobivamo Odgovor: 2/3. Slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije ƒ(x) = (1/2)x u intervalu (0;2); izvan ovog intervala ƒ(x) = 0. Nađite matematičko očekivanje vrijednosti X. R Zamjenom a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, dobivamo M(X) = Odgovor: 4/3. Slučajna varijabla X u intervalu (–s, s) određena je gustoćom distribucije ƒ R Zamjenom a = –s, b = c, ƒ(x) = , dobivamo S obzirom da je integrand neparan i da su granice integracije simetrične oko ishodišta, zaključujemo da je integral jednak nuli. Stoga je M(X) = 0. Ovaj se rezultat može odmah dobiti ako uzmemo u obzir da je krivulja distribucije simetrična u odnosu na ravnu liniju x = 0. Slučajna varijabla X u intervalu (2, 4) određena je gustoćom distribucije f(x)= Slučajna varijabla X u intervalu (3, 5) određena je gustoćom distribucije f(x)= Riješenje. Predstavimo gustoću distribucije u obliku Slučajna varijabla X u intervalu (-1, 1) određena je gustoćom distribucije Matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla naziva se: U slučaju beskonačnog skupa vrijednosti, postoji niz na desnoj strani (4.4), a mi ćemo razmotriti samo one vrijednosti X za koje je ovaj niz apsolutno konvergentan. M(X) predstavlja prosječnu očekivanu vrijednost slučajne varijable. Ima sljedeća svojstva: 1) M(C)=C, gdje je C=konst 2) M (CX)=CM (X) (4,5) 3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), za bilo koji X i Y. 4) M (XY)=M (X)M(Y), ako su X i Y neovisni. Procijeniti stupanj raspršenja vrijednosti slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti M(X)= A
uvode se pojmovi odstupanjaD(X) i srednja kvadratna (standardna) devijacija. Varijanca naziva se matematičko očekivanje kvadrata razlike (X-), oni. : D(X)=M(X-) 2 = p i, Gdje =M(X); definira se kao kvadratni korijen varijance, tj. Za izračun varijance koristite formulu: Svojstva disperzije i standardne devijacije: 1) D(C)=0, gdje je C=const 2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7) 3) D(X+Y) =D(X)+D(Y), ako su X i Y neovisni. Dimenzija veličina i podudara se s dimenzijom same slučajne varijable X, a dimenzija D(X) jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable X. 4.3. Matematičke operacije nad slučajnim varijablama. Neka slučajna varijabla X ima vrijednosti s vjerojatnostima, a slučajna varijabla Y ima vrijednosti s vjerojatnostima. Umnožak KX slučajne varijable X i konstantne vrijednosti K je nova slučajna varijabla koja, s istim vjerojatnostima kao i slučajna. varijabla X, poprima vrijednosti jednake umnošcima s K vrijednostima slučajne varijable X. Prema tome, njezin zakon raspodjele ima oblik Tablica 4.2: Tablica 4.2 Kvadrat slučajna varijabla X, tj. , je nova slučajna varijabla koja, s istim vjerojatnostima kao slučajna varijabla X, poprima vrijednosti jednake kvadratima svojih vrijednosti. Iznos slučajne varijable X i Y je nova slučajna varijabla koja uzima sve vrijednosti oblika s vjerojatnostima koje izražavaju vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost, a Y je vrijednost, tj.
(4.8)
Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada: Razlika i umnožak slučajnih varijabli X i Y određuju se na sličan način. Razlika slučajne varijable X i Y - ovo je nova slučajna varijabla koja uzima sve vrijednosti oblika , i raditi- sve vrijednosti oblika s vjerojatnostima određenim formulom (4.8), a ako su slučajne varijable X i Y neovisne, onda formulom (4.9). 4.4. Bernoullijeva i Poissonova raspodjela.
Razmotrimo niz od n identičnih ponovljenih pokusa koji zadovoljavaju sljedeće uvjete: 1. Svaki test ima dva ishoda, koji se nazivaju uspjeh i neuspjeh. Ova dva ishoda su međusobno nekompatibilni i suprotni događaji. 2. Vjerojatnost uspjeha, označena s p, ostaje konstantna od pokušaja do pokušaja. Vjerojatnost kvara je označena sa q. 3. Svih n testova je neovisno. To znači da vjerojatnost da se događaj dogodi u bilo kojem od n ponovljenih pokusa ne ovisi o rezultatima drugih pokusa. Vjerojatnost da će se u n neovisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih je vjerojatnost događanja događaja jednaka , događaj dogoditi točno m puta (u bilo kojem nizu) jednaka je Izraz (4.10) naziva se Bernoullijeva formula. Vjerojatnosti da će se događaj dogoditi: a) manje od m puta, b) više od m puta, c) najmanje m puta, d) ne više od m puta - nalaze se prema formulama: Binom je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u n neovisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerojatnost događanja događaja jednaka p; vjerojatnosti mogućih vrijednosti X = 0,1,2,..., m,...,n izračunavaju se pomoću Bernoullijeve formule (tablica 4.3).
Tablica 4.3 Budući da desna strana formule (4.10) predstavlja opći član binomnog proširenja, ovaj se zakon raspodjele naziva binomni. Za slučajnu varijablu X raspodijeljenu prema binomnom zakonu imamo.
1.2.
p4=0,1; 0 pri x≤-1,
(Sl.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤a,
,
Normalna krivulja je simetrična u odnosu na ravnu liniju x=m, ima maksimum pri x=a, jednak .
,
x
…
…
R
…
…
x
R 0,1
0,3
0,2
0,4
x
…
k
…
n
R
…
…
x
…
k
…
R
…
…
x
…
n
…
R
…
…
x
R
14 Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijablix
R 0,1
0,6
0,3
x
…
…
R
…
…
CX
…
…
R
…
…
x
R
x
P 0,1
0,6
0,3
:
:
:
Odavde, ili.
. Odavde, ili.
Pri x=0 derivacija ne postoji.
u intervalu; izvan ovog intervala. Nađite vjerojatnost da X poprimi vrijednost koja pripada intervalu .
. Prema tome, tražena vjerojatnost
.
. (*)
.
.
. (*)
.
.
. (*)
(**)
Zahtijevamo da ovaj uvjet bude zadovoljen za zadanu funkciju:
.
. (*)
(**)
odluka. Koristimo formulu
odluka. Koristimo formulu
=
4/3
(x) = ; izvan ovog intervala ƒ(x) = 0. Nađite matematičko očekivanje vrijednosti X.
odluka. Koristimo formulu
. Iz ovoga se vidi da pri x = 3 gustoća raspodjele doseže maksimum; stoga, . Krivulja distribucije je simetrična u odnosu na ravnu liniju x=3, dakle .
; izvan ovog intervala f(x)=0. Pronađite modusu, matematičko očekivanje i medijan od X.
. Iz ovoga se vidi da pri x=3 gustoća raspodjele doseže maksimum; stoga, . Krivulja raspodjele je simetrična u odnosu na ravnu liniju x=4, dakle .
; izvan ovog intervala f(x)=0. Pronađite: a) modu; b) medijan X.
.
(4.6)
...
...
(4.10)
Broj uspjeha X=m
...
m
...
n
Vjerojatnost P
...
...
