Mari kita lihat contoh spesifik tentang cara memfaktorkan polinomial.
Kami akan memperluas polinomial sesuai dengan .
Polinomial faktor:
Mari kita periksa apakah ada faktor persekutuan. ya, itu sama dengan 7cd. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:
Ekspresi dalam tanda kurung terdiri dari dua istilah. Tidak ada lagi faktor persekutuan, persamaan tersebut bukan rumus jumlah pangkat tiga, artinya penguraiannya selesai.
Mari kita periksa apakah ada faktor persekutuan. TIDAK. Polinomialnya terdiri dari tiga suku, jadi kita periksa apakah ada rumusnya persegi penuh. Dua suku merupakan kuadrat dari persamaan: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², suku ketiga sama dengan hasil kali ganda dari persamaan berikut: 2∙5x∙3y=30xy. Artinya polinomial tersebut merupakan kuadrat sempurna. Karena hasil kali ganda mempunyai tanda minus, maka:
Kami memeriksa apakah mungkin untuk mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Ada faktor persekutuan, sama dengan a. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:
Ada dua istilah dalam tanda kurung. Kita cek apakah ada rumus selisih kuadrat atau selisih kubus. a² adalah kuadrat dari a, 1=1². Artinya ekspresi dalam tanda kurung dapat ditulis menggunakan rumus selisih kuadrat:
Ada faktor persekutuannya, sama dengan 5. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:
dalam tanda kurung ada tiga istilah. Kami memeriksa apakah ekspresi tersebut merupakan kuadrat sempurna. Dua suku adalah kuadrat: 16=4² dan a² - kuadrat dari a, suku ketiga sama dengan hasil kali ganda dari 4 dan a: 2∙4∙a=8a. Oleh karena itu, ini adalah kuadrat sempurna. Karena semua suku mempunyai tanda “+”, ekspresi dalam tanda kurung adalah kuadrat sempurna dari jumlah tersebut:
Kami mengeluarkan pengali -2x keseluruhan dari tanda kurung:
Dalam tanda kurung adalah jumlah dua suku. Kami memeriksa apakah ekspresi ini merupakan jumlah kubus. 64=4³, x³- kubus x. Artinya binomial dapat diperluas dengan rumus:
Ada pengganda yang sama. Namun, karena polinomial terdiri dari 4 suku, pertama-tama kita akan mengeluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung. Mari kita kelompokkan suku pertama dengan suku keempat, dan suku kedua dengan suku ketiga:
Dari tanda kurung pertama kita keluarkan faktor persekutuan 4a, dari tanda kurung kedua - 8b:
Belum ada pengganda umum. Untuk mendapatkannya, kita keluarkan “-” dari tanda kurung kedua, dan setiap tanda dalam tanda kurung berubah menjadi kebalikannya:
Sekarang mari kita keluarkan faktor persekutuan (1-3a) dari tanda kurung:
Di dalam tanda kurung kedua terdapat faktor persekutuan 4 (ini adalah faktor yang sama yang tidak kami keluarkan dari tanda kurung di awal contoh):
Karena polinomial terdiri dari empat suku, kita melakukan pengelompokan. Mari kita kelompokkan suku pertama dengan suku kedua, suku ketiga dengan suku keempat:
Pada kurung pertama tidak ada faktor persekutuannya, tetapi terdapat rumus selisih kuadrat, pada kurung kedua faktor persekutuannya adalah -5:
Pengganda umum telah muncul (4m-3n). Mari kita keluarkan dari persamaan.
Untuk memfaktorkan, kita perlu menyederhanakan persamaan-persamaan tersebut. Hal ini diperlukan agar bisa semakin dikurangi. Perluasan polinomial masuk akal jika derajatnya tidak lebih rendah dari dua. Polinomial dengan derajat pertama disebut linier.
Artikel ini akan membahas semua konsep dekomposisi, landasan teori, dan metode pemfaktoran polinomial.
Teori
Teorema 1Jika ada polinomial berderajat n, berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, direpresentasikan sebagai hasil kali faktor konstan dengan derajat tertinggi a n dan n faktor linier (x - x i), i = 1, 2, ..., n, lalu P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , dimana x i, i = 1, 2, …, n adalah akar-akar polinomial.
Teorema ini ditujukan untuk akar-akar bertipe kompleks x i, i = 1, 2, …, n dan untuk koefisien kompleks a k, k = 0, 1, 2, …, n. Ini adalah dasar dari setiap dekomposisi.
Jika koefisien berbentuk a k, k = 0, 1, 2, …, n adalah bilangan real, maka akar-akar kompleksnya akan muncul berpasangan konjugasi. Misalnya akar x 1 dan x 2 berhubungan dengan polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 dianggap konjugat kompleks, maka akar-akar lainnya real, sehingga diperoleh polinomial tersebut berbentuk P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, dimana x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentar
Akar suatu polinomial dapat diulang. Mari kita perhatikan pembuktian teorema aljabar, konsekuensi dari teorema Bezout.
Teorema dasar aljabar
Teorema 2Setiap polinomial dengan derajat n mempunyai paling sedikit satu akar.
teorema Bezout
Setelah membagi polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pada (x - s), maka kita peroleh sisanya yang sama dengan polinomial di titik s, maka kita peroleh
P n x = an x n + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , dimana Q n - 1 (x) adalah polinomial dengan derajat n - 1.
Akibat wajar dari teorema Bezout
Jika akar polinomial P n (x) dianggap s, maka P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Akibat wajar ini cukup bila digunakan untuk menggambarkan solusi.
Memfaktorkan trinomial kuadrat
Suatu trinomial persegi berbentuk a x 2 + b x + c dapat difaktorkan menjadi faktor linier. maka kita mendapatkan bahwa a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , di mana x 1 dan x 2 adalah akar-akar (kompleks atau nyata).
Dari sini jelas bahwa perluasan itu sendiri berujung pada penyelesaian persamaan kuadrat kemudian.
Contoh 1
Faktorkan trinomial kuadrat.
Larutan
Kita perlu mencari akar-akar persamaan 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Caranya, cari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus, maka kita peroleh D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Dari sini kita memilikinya
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Dari sini kita peroleh bahwa 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membuka tanda kurung. Kemudian kita mendapatkan ekspresi dalam bentuk:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Setelah memeriksa, kita sampai pada ekspresi aslinya. Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa dekomposisi telah dilakukan dengan benar.
Contoh 2
Faktorkan trinomial kuadrat berbentuk 3 x 2 - 7 x - 11 .
Larutan
Kami menemukan bahwa persamaan kuadrat yang dihasilkan dalam bentuk 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 perlu dihitung.
Untuk mencari akarnya, Anda perlu menentukan nilai diskriminannya. Kami mengerti
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Dari sini kita peroleh bahwa 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Contoh 3
Faktorkan polinomial 2 x 2 + 1.
Larutan
Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 + 1 = 0 dan mencari akar-akarnya. Kami mengerti
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Akar-akar ini disebut konjugat kompleks, artinya pemuaian itu sendiri dapat digambarkan sebagai 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Contoh 4
Menguraikan trinomial kuadrat x 2 + 1 3 x + 1 .
Larutan
Pertama, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dan mencari akar-akarnya.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Setelah mendapatkan akarnya, kami menulis
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentar
Jika nilai diskriminannya negatif, maka polinomialnya akan tetap menjadi polinomial orde kedua. Oleh karena itu, kami tidak akan menguraikannya menjadi faktor linier.
Metode untuk memfaktorkan polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari dua
Saat menguraikan, metode universal diasumsikan. Sebagian besar kasus didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout. Untuk melakukan ini, Anda perlu memilih nilai akar x 1 dan mengurangi derajatnya dengan membagi polinomial dengan 1 dengan membaginya dengan (x - x 1). Polinomial yang dihasilkan perlu mencari akar x 2, dan proses pencarian bersifat siklis hingga kita mendapatkan perluasan yang lengkap.
Jika akar tidak ditemukan, maka metode faktorisasi lain digunakan: pengelompokan, suku tambahan. Topik ini melibatkan penyelesaian persamaan dengan pangkat lebih tinggi dan koefisien bilangan bulat.
Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung
Perhatikan kasus ketika suku bebasnya sama dengan nol, maka bentuk polinomialnya menjadi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .
Terlihat bahwa akar dari suatu polinomial tersebut akan sama dengan x 1 = 0, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan sebagai ekspresi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Cara ini dianggap menghilangkan faktor persekutuan.
Contoh 5
Faktorkan polinomial derajat ketiga 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Larutan
Kita melihat bahwa x 1 = 0 adalah akar dari polinomial yang diberikan, maka kita dapat menghapus x dari tanda kurung seluruh ekspresi. Kita mendapatkan:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Mari kita lanjutkan mencari akar-akar trinomial kuadrat 4 x 2 + 8 x - 1. Mari kita cari diskriminan dan akarnya:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Kemudian setelahnya
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Untuk memulainya, mari kita pertimbangkan metode dekomposisi yang mengandung koefisien bilangan bulat dalam bentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, dimana koefisien derajat tertingginya adalah 1.
Jika suatu polinomial memiliki akar-akar bilangan bulat, maka polinomial tersebut dianggap sebagai pembagi suku bebasnya.
Contoh 6
Uraikan persamaan f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Larutan
Mari kita pertimbangkan apakah ada akar yang lengkap. Penting untuk menuliskan pembagi angka - 18. Kita peroleh ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Oleh karena itu, polinomial ini memiliki akar bilangan bulat. Anda dapat memeriksanya menggunakan skema Horner. Ini sangat mudah dan memungkinkan Anda dengan cepat mendapatkan koefisien muai polinomial:
Oleh karena itu x = 2 dan x = - 3 adalah akar-akar polinomial asal, yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bentuk:
f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Kita lanjutkan ke perluasan trinomial kuadrat berbentuk x 2 + 2 x + 3.
Karena diskriminannya negatif, berarti tidak ada akar real.
Menjawab: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentar
Diperbolehkan menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial dengan polinomial alih-alih skema Horner. Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan perluasan polinomial yang mengandung koefisien bilangan bulat berbentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , yang tertinggi sama dengan satu.
Kasus ini terjadi pada pecahan rasional.
Contoh 7
Faktorkan f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Larutan
Untuk mengganti variabel y = 2 x, Anda harus beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan 1 pada derajat tertinggi. Anda harus memulai dengan mengalikan ekspresi dengan 4. Kami mengerti
4 f(x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Jika fungsi hasil bentuk g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 mempunyai akar bilangan bulat, maka letaknya berada di antara pembagi suku bebasnya. Entrinya akan terlihat seperti:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Mari kita lanjutkan menghitung fungsi g (y) pada titik-titik ini untuk mendapatkan hasilnya nol. Kami mengerti
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Diketahui bahwa y = - 5 adalah akar persamaan berbentuk y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, yang berarti x = y 2 = - 5 2 adalah akar dari fungsi aslinya.
Contoh 8
Kolom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 harus dibagi dengan x + 5 2.
Larutan
Mari kita tuliskan dan dapatkan:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Memeriksa pembagi akan memakan banyak waktu, sehingga lebih menguntungkan jika memfaktorkan hasil trinomial kuadrat berbentuk x 2 + 7 x + 3. Dengan menyamakan dengan nol kita menemukan diskriminannya.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Oleh karena itu
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Teknik buatan untuk memfaktorkan polinomial
Akar rasional tidak melekat pada semua polinomial. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan metode khusus untuk mencari faktor. Namun tidak semua polinomial dapat diperluas atau direpresentasikan sebagai suatu produk.
Metode pengelompokan
Ada kalanya Anda dapat mengelompokkan suku-suku polinomial untuk mencari faktor persekutuan dan mengeluarkannya dari tanda kurung.
Contoh 9
Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Larutan
Karena koefisiennya adalah bilangan bulat, maka akar-akarnya juga dapat berupa bilangan bulat. Untuk memeriksanya, ambil nilai 1, - 1, 2 dan - 2 untuk menghitung nilai polinomial pada titik-titik tersebut. Kami mengerti
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Hal ini menunjukkan bahwa tidak ada akar; maka perlu menggunakan metode perluasan dan penyelesaian yang lain.
Hal ini diperlukan untuk mengelompokkan:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Setelah mengelompokkan polinomial asli, Anda perlu merepresentasikannya sebagai hasil kali dua trinomial persegi. Untuk melakukan ini kita perlu memfaktorkan. kita mengerti itu
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentar
Kesederhanaan pengelompokan tidak berarti pemilihan istilah cukup mudah. Tidak ada metode penyelesaian yang pasti, sehingga perlu menggunakan teorema dan aturan khusus.
Contoh 10
Faktorkan polinomialnya x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Larutan
Polinomial yang diberikan tidak memiliki akar bilangan bulat. Istilah-istilahnya harus dikelompokkan. Kami mengerti
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Setelah faktorisasi kita mendapatkan itu
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Menggunakan rumus perkalian yang disingkat dan binomial Newton untuk memfaktorkan polinomial
Penampilan seringkali tidak selalu memperjelas metode mana yang harus digunakan selama dekomposisi. Setelah transformasi dilakukan, Anda dapat membuat garis yang terdiri dari segitiga Pascal, jika tidak maka disebut binomial Newton.
Contoh 11
Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Larutan
Penting untuk mengubah ekspresi ke bentuk
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Urutan koefisien penjumlahan dalam tanda kurung ditunjukkan dengan ekspresi x + 1 4 .
Artinya kita mempunyai x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Setelah menerapkan selisih kuadrat, kita dapatkan
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Perhatikan ekspresi yang ada di braket kedua. Jelas tidak ada ksatria di sana, jadi kita harus menerapkan rumus selisih kuadrat lagi. Kami mendapatkan ekspresi bentuk
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Contoh 12
Faktorkan x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Larutan
Mari kita mulai mengubah ekspresinya. Kami mengerti
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Penting untuk menerapkan rumus perkalian singkat selisih kubus. Kita mendapatkan:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Sebuah metode untuk mengganti variabel saat memfaktorkan polinomial
Saat mengganti variabel, derajatnya dikurangi dan polinomialnya difaktorkan.
Contoh 13
Faktorkan polinomial berbentuk x 6 + 5 x 3 + 6 .
Larutan
Berdasarkan kondisi tersebut jelas perlu dilakukan penggantian y = x 3. Kita mendapatkan:
x 6 + 5 x 3 + 6 = kamu = x 3 = kamu 2 + 5 kamu + 6
Akar persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah y = - 2 dan y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Penting untuk menerapkan rumus perkalian jumlah kubus yang disingkat. Kami mendapatkan ekspresi dalam bentuk:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Artinya, kami memperoleh dekomposisi yang diinginkan.
Kasus-kasus yang dibahas di atas akan membantu dalam mempertimbangkan dan memfaktorkan polinomial dengan berbagai cara.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Apa yang harus kamu lakukan jika dalam proses menyelesaikan suatu soal pada Ujian Negara Bersatu atau pada ujian masuk matematika, kamu menerima polinomial yang tidak dapat difaktorkan menggunakan metode standar yang kamu pelajari di sekolah? Dalam artikel ini, seorang tutor matematika akan memberi tahu Anda tentang satu metode efektif, yang pembelajarannya berada di luar cakupannya kurikulum sekolah, tetapi dengan bantuannya tidak akan sulit untuk memfaktorkan polinomialnya. Baca artikel ini sampai selesai dan tonton video tutorial terlampir. Pengetahuan yang Anda peroleh akan membantu Anda dalam ujian.
Memfaktorkan polinomial menggunakan metode pembagian
Jika Anda menerima polinomial yang lebih besar dari derajat kedua dan dapat menebak nilai variabel yang polinomialnya sama dengan nol (misalnya, nilainya sama dengan ), ketahuilah! Polinomial ini dapat dibagi dengan .
Misalnya, mudah untuk melihat bahwa polinomial derajat keempat hilang pada . Artinya dapat dibagi tanpa sisa dengan , sehingga diperoleh polinomial derajat ketiga (dikurangi satu). Artinya, sajikan dalam bentuk:
Di mana A, B, C Dan D- beberapa nomor. Mari kita perluas tanda kurungnya:
Karena koefisien di derajat yang sama harus sama, didapat:
Jadi, kami mendapat:
Teruskan. Cukup dengan menelusuri beberapa bilangan bulat kecil untuk melihat bahwa polinomial derajat ketiga habis dibagi lagi. Ini menghasilkan polinomial derajat kedua (dikurangi satu). Kemudian lanjutkan ke entri baru:
Di mana E, F Dan G- beberapa nomor. Kami membuka tanda kurung lagi dan sampai pada ekspresi berikut:
Sekali lagi, dari kondisi kesetaraan koefisien untuk derajat yang sama, kita memperoleh:
Kemudian kita mendapatkan:
Artinya, polinomial aslinya dapat difaktorkan sebagai berikut:
Pada prinsipnya, jika diinginkan, dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, hasilnya juga dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
Sangat sederhana dan metode yang efektif memfaktorkan polinomial. Ingat, mungkin berguna bagi Anda dalam ujian atau kompetisi matematika. Periksa apakah Anda telah mempelajari cara menggunakan metode ini. Cobalah untuk menyelesaikan sendiri tugas berikut.
Faktorkan polinomialnya:
Tulis jawaban Anda di komentar.
Materi disiapkan oleh Sergey Valerievich
Ini adalah salah satu cara paling dasar untuk menyederhanakan suatu ekspresi. Untuk menerapkan cara ini, mari kita ingat hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan (jangan takut dengan kata-kata ini, Anda pasti tahu hukum ini, Anda mungkin lupa namanya).
Hukumnya berbunyi: untuk mengalikan jumlah dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda perlu mengalikan setiap suku dengan bilangan tersebut dan menjumlahkan hasilnya, dengan kata lain, .
Anda juga dapat melakukan operasi kebalikannya, dan operasi kebalikan inilah yang menarik minat kami. Terlihat dari sampel, faktor persekutuan a dapat dikeluarkan dari kurung.
Operasi serupa dapat dilakukan dengan variabel, seperti dan, misalnya, dan dengan angka: .
Ya, ini adalah contoh yang sangat mendasar, sama seperti contoh yang diberikan sebelumnya, dengan penguraian suatu bilangan, karena semua orang tahu bahwa bilangan habis dibagi, tetapi bagaimana jika Anda mendapatkan ekspresi yang lebih rumit:
Bagaimana cara mengetahui, misalnya, suatu bilangan habis dibagi? Tidak, siapa pun bisa melakukannya dengan kalkulator, tetapi sulit tanpanya? Dan untuk ini ada tanda-tanda keterbagian, tanda-tanda ini sangat berharga untuk diketahui, mereka akan membantu Anda dengan cepat memahami apakah faktor persekutuan dapat dikeluarkan dari kurung.
Tanda-tanda perpecahan
Tidak terlalu sulit untuk mengingatnya; kemungkinan besar, sebagian besar sudah Anda kenal, dan beberapa akan menjadi penemuan baru yang berguna, lebih detailnya ada di tabel:
Catatan: Tabel tersebut tidak memenuhi uji pembagian dengan 4. Jika dua angka terakhirnya habis dibagi 4, maka seluruh bilangan tersebut habis dibagi 4.
Nah, bagaimana Anda menyukai tandanya? Saya menyarankan Anda untuk mengingatnya!
Baiklah, mari kita kembali ke ungkapan itu, mungkin dia bisa mengeluarkannya dari braket dan itu sudah cukup? Tidak, ahli matematika cenderung menyederhanakan, jadi semaksimal mungkin, menanggung SEMUA yang ditanggung!
Jadi, semuanya jelas dengan permainannya, tetapi bagaimana dengan bagian numerik dari ekspresi? Kedua angka tersebut ganjil, jadi tidak bisa dibagi
Anda dapat menggunakan uji habis dibagi: jumlah angka-angkanya, dan, yang membentuk bilangan tersebut sama, dan habis dibagi, berarti habis dibagi.
Mengetahui hal ini, Anda dapat dengan aman membagi menjadi sebuah kolom, dan sebagai hasil pembagian dengan kita mendapatkan (tanda-tanda pembagian berguna!). Jadi, kita dapat mengeluarkan bilangan tersebut dari tanda kurung, seperti y, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan:
Untuk memastikan semuanya telah diekspansi dengan benar, Anda dapat memeriksa perluasannya dengan mengalikannya!
Faktor persekutuan juga dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat. Di sini, misalnya, apakah Anda melihat pengganda persekutuan?
Semua anggota ekspresi ini memiliki x - kita keluarkan, semuanya dibagi - kita keluarkan lagi, lihat apa yang terjadi: .
2. Rumus perkalian yang disingkat
Rumus perkalian yang disingkat telah disebutkan dalam teori; jika Anda kesulitan mengingatnya, sebaiknya segarkan ingatan Anda.
Nah, jika Anda menganggap diri Anda sangat pintar dan terlalu malas untuk membaca informasi yang begitu banyak, maka baca saja, lihat rumusnya dan langsung ambil contohnya.
Inti dari penguraian ini adalah memperhatikan rumus tertentu dalam ekspresi di depan Anda, menerapkannya dan dengan demikian memperoleh hasil kali dari sesuatu dan sesuatu, itu saja penguraiannya. Berikut rumusnya:
Sekarang coba faktorkan ekspresi berikut menggunakan rumus di atas:
Inilah yang seharusnya terjadi:
Seperti yang mungkin Anda ketahui, rumus ini sangat bagus cara yang efektif faktorisasi, hal ini tidak selalu cocok, namun dapat sangat berguna!
3. Metode pengelompokan atau pengelompokan
Berikut ini contoh lain untuk Anda:
Jadi apa yang akan kamu lakukan dengannya? Tampaknya ada sesuatu yang terbagi menjadi dan menjadi, dan sesuatu menjadi dan menjadi
Tapi Anda tidak bisa membagi semuanya menjadi satu hal, ya tidak ada faktor persekutuan di sini, tidak peduli bagaimana penampilan Anda, apa yang harus Anda biarkan seperti itu, tanpa memfaktorkannya?
Di sini Anda perlu menunjukkan kecerdikan, dan yang namanya kecerdikan ini adalah pengelompokan!
Ini digunakan tepat ketika tidak semua anggota mempunyai pembagi yang sama. Untuk pengelompokan yang Anda butuhkan temukan kelompok suku yang memiliki faktor persekutuan dan menyusunnya kembali sehingga dapat diperoleh faktor yang sama dari masing-masing kelompok.
Tentu saja, tidak perlu mengatur ulang, tetapi ini memberikan kejelasan; untuk kejelasan, Anda dapat menempatkan bagian-bagian ekspresi tertentu dalam tanda kurung; tidak dilarang untuk menempatkannya sebanyak yang Anda suka, yang utama adalah jangan bingung tanda-tanda.
Apakah semua ini tidak begitu jelas? Izinkan saya menjelaskan dengan sebuah contoh:
Dalam polinomial - kita masukkan suku - setelah suku - kita dapatkan
kita mengelompokkan dua suku pertama ke dalam kurung terpisah dan juga mengelompokkan suku ketiga dan keempat, dengan menghilangkan tanda minus dari kurung, kita mendapatkan:
Sekarang kita melihat secara terpisah masing-masing dari dua "tumpukan" tempat kita membagi ekspresi dengan tanda kurung.
Caranya adalah dengan memecahnya menjadi tumpukan-tumpukan yang dapat diambil faktor terbesarnya, atau, seperti dalam contoh ini, cobalah mengelompokkan suku-sukunya sehingga setelah faktor-faktor tersebut dikeluarkan dari tanda kurung, kita masih memiliki ekspresi yang sama. di dalam tanda kurung.
Dari kedua tanda kurung kita keluarkan faktor persekutuan dari suku-suku tersebut, dari tanda kurung pertama, dan dari tanda kurung kedua, kita peroleh:
Tapi ini bukan pembusukan!
Pkeledai dekomposisi seharusnya hanya tetap perkalian, tapi untuk saat ini polinomial kita hanya dibagi menjadi dua bagian...
TETAPI! Polinomial ini memiliki faktor persekutuan. Ini
melampaui batas dan kami mendapatkan produk akhir
Bingo! Seperti yang terlihat, sudah ada perkalian di sini dan di luar tanda kurung tidak ada penambahan atau pengurangan, penguraian selesai, karena Tidak ada lagi yang perlu kita keluarkan dari tanda kurung.
Ini mungkin tampak seperti keajaiban bahwa setelah mengeluarkan faktor-faktor di dalam tanda kurung, kita mendapatkan ekspresi yang sama di dalam tanda kurung, yang kemudian kita keluarkan lagi dari tanda kurung.
Dan ini sama sekali bukan keajaiban, faktanya contoh-contoh di buku teks dan Ujian Negara Bersatu dibuat khusus sehingga sebagian besar ekspresi dalam tugas untuk penyederhanaan atau faktorisasi dengan pendekatan yang tepat, mereka mudah disederhanakan dan runtuh secara tiba-tiba seperti payung saat Anda menekan sebuah tombol, jadi carilah tombol itu di setiap ekspresi.
Saya terganggu, apa yang kita lakukan dengan penyederhanaan? Polinomial yang rumit mengambil bentuk yang lebih sederhana: .
Setuju, ukurannya tidak sebesar dulu?
4. Memilih kotak yang lengkap.
Terkadang, untuk menerapkan rumus perkalian yang disingkat (mengulangi topik), polinomial yang ada perlu diubah dengan menampilkan salah satu sukunya sebagai jumlah atau selisih dua suku.
Jika Anda harus melakukan ini, Anda akan belajar dari contoh:
Polinomial dalam bentuk ini tidak dapat diperluas dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, sehingga harus ditransformasikan. Mungkin pada awalnya tidak jelas bagi Anda suku mana yang harus dibagi, tetapi seiring waktu Anda akan belajar untuk segera melihat rumus perkalian yang disingkat, meskipun tidak seluruhnya ada, dan Anda akan segera menentukan apa yang hilang di sini. sebelum rumus lengkap, sementara itu, belajar, pelajar, atau lebih tepatnya anak sekolah.
Untuk rumus lengkap selisih kuadrat, di sini Anda memerlukannya. Bayangkan suku ketiga sebagai selisih, kita peroleh: Untuk ekspresi dalam tanda kurung, Anda dapat menerapkan rumus kuadrat selisihnya (jangan bingung dengan perbedaan kotak!!!), kita mempunyai: , pada ekspresi ini kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat (jangan bingung dengan selisih kuadrat!!!), bayangkan caranya, kita mendapatkan: .
Ekspresi yang difaktorkan tidak selalu terlihat lebih sederhana dan lebih kecil dibandingkan sebelum perluasan, namun dalam bentuk ini menjadi lebih fleksibel, dalam artian Anda tidak perlu khawatir tentang perubahan tanda dan omong kosong matematika lainnya. Nah, agar Anda dapat memutuskan sendiri, ekspresi berikut perlu difaktorkan.
Contoh:
Jawaban:
5. Memfaktorkan trinomial kuadrat
Untuk penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor, lihat contoh penguraian lebih lanjut.
Contoh 5 cara memfaktorkan polinomial
1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Contoh.
Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan hukum distributif? Ini aturannya:
Contoh:
Faktorkan polinomialnya.
Larutan:
Contoh lain:
Faktorkan itu.
Larutan:
Jika seluruh suku dikeluarkan dari tanda kurung, satuannya tetap berada di dalam tanda kurung!
2. Rumus perkalian yang disingkat. Contoh.
Rumus yang paling sering kita gunakan adalah selisih kuadrat, selisih kubus, dan jumlah kubus. Apakah Anda ingat rumus-rumus ini? Jika tidak, segera ulangi topik tersebut!
Contoh:
Faktorkan ekspresi tersebut.
Larutan:
Dalam ungkapan ini mudah untuk mengetahui perbedaan kubus:
Contoh:
Larutan:
3. Metode pengelompokan. Contoh
Terkadang Anda dapat menukar suku-suku sehingga faktor yang sama dapat diambil dari setiap pasangan suku-suku yang berdekatan. Faktor persekutuan ini dapat dikeluarkan dari kurung dan polinomial aslinya akan berubah menjadi hasil kali.
Contoh:
Faktorkan polinomialnya.
Larutan:
Mari kita kelompokkan istilah-istilahnya sebagai berikut:
.
Di kelompok pertama kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung, dan di kelompok kedua - :
.
Sekarang faktor persekutuannya juga bisa dikeluarkan dari tanda kurung:
.
4. Metode pemilihan persegi lengkap. Contoh.
Jika polinomial dapat direpresentasikan sebagai selisih kuadrat dari dua ekspresi, yang tersisa hanyalah menerapkan rumus perkalian yang disingkat (selisih kuadrat).
Contoh:
Faktorkan polinomialnya.
Larutan:Contoh:
\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\penyangga bawah(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(persegi\ jumlah\ ((\kiri (x+3 \kanan))^(2)))-9-7=((\kiri(x+3 \kanan))^(2))-16= \\
=\kiri(x+3+4 \kanan)\kiri(x+3-4 \kanan)=\kiri(x+7 \kanan)\kiri(x-1 \kanan) \\
\end(array)
Faktorkan polinomialnya.
Larutan:
\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\penyangga bawah(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(persegi\ perbedaan((\kiri(((x)^(2))-2 \kanan))^(2)))-4-1=((\kiri(((x)^ (2))-2 \kanan))^(2))-5= \\
=\kiri(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \kanan)\kiri(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \kanan) \\
\end(array)
5. Memfaktorkan trinomial kuadrat. Contoh.
Trinomial persegi adalah polinomial yang bentuknya, di mana - tidak diketahui, - beberapa bilangan, dan.
Nilai-nilai variabel yang menghilangkan trinomial kuadrat disebut akar-akar trinomial. Oleh karena itu, akar-akar trinomial adalah akar-akar persamaan kuadrat.
Dalil.
Contoh:
Mari kita faktorkan trinomial kuadrat: .
Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya: Sekarang kita dapat menulis faktorisasi trinomial kuadrat ini:
Sekarang pendapat Anda...
Kami menjelaskan secara rinci bagaimana dan mengapa memfaktorkan polinomial.
Kami memberikan banyak contoh bagaimana melakukan hal ini dalam praktik, menunjukkan kendala, memberikan solusi...
Apa yang kamu katakan?
Apa pendapat Anda tentang artikel ini? Apakah Anda menggunakan teknik ini? Apakah Anda memahami esensinya?
Tulis di komentar dan... bersiaplah untuk ujian!
Sejauh ini dia adalah orang terpenting dalam hidupmu.
Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari perkalian polinomial dengan monomial. Misalnya, hasil kali monomial a dan polinomial b + c diperoleh sebagai berikut:
a(b + c) = ab + bc
Namun, dalam beberapa kasus akan lebih mudah untuk melakukan operasi invers, yang dapat disebut mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
ab + bc = a(b + c)
Misalnya kita perlu menghitung nilai polinomial ab + bc untuk nilai variabel a = 15.6, b = 7.2, c = 2.8. Jika kita mensubstitusikannya langsung ke dalam ekspresi, kita mendapatkan
ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8
ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156
Dalam hal ini, kita menyatakan polinomial ab + bc sebagai produk dari dua faktor: a dan b + c. Tindakan ini disebut memfaktorkan polinomial.
Selain itu, masing-masing faktor yang menjadi perluasan polinomial, pada gilirannya, dapat berupa polinomial atau monomial.
Mari kita perhatikan polinomial 14ab - 63b 2. Setiap monomial penyusunnya dapat direpresentasikan sebagai produk:
Terlihat bahwa kedua polinomial tersebut mempunyai faktor persekutuan 7b. Artinya dapat dikeluarkan dari tanda kurung:
14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)
Anda dapat memeriksa apakah pengali ditempatkan dengan benar di luar tanda kurung menggunakan operasi sebaliknya - membuka tanda kurung:
7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2
Penting untuk dipahami bahwa seringkali polinomial dapat diperluas dengan beberapa cara, misalnya:
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)
Biasanya mereka mencoba mengekstrak, secara kasar, monomial “terbesar”. Artinya, mereka memperluas polinomial tersebut sehingga tidak ada lagi yang dapat diambil dari polinomial yang tersisa. Jadi, selama dekomposisi
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)
jumlah monomial yang mempunyai faktor persekutuan c tetap berada dalam tanda kurung. Jika kita keluarkan juga, maka tidak akan ada faktor persekutuan yang tersisa di dalam tanda kurung:
b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)
Mari kita lihat lebih detail cara mencari faktor persekutuan monomial. Mari kita uraikan jumlahnya
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10
Ini terdiri dari tiga istilah. Pertama, mari kita lihat peluang numerik di depannya. Ini adalah 8, 12 dan 16. Dalam pelajaran 3 kelas 6, topik GCD dan algoritma untuk menemukannya telah dibahas. Ini adalah pembagi persekutuan terbesar yang hampir selalu dapat ditemukan secara lisan. Koefisien numerik dari pengali persekutuan akan sama persis dengan GCD dari koefisien numerik suku-suku polinomial. Dalam hal ini, angkanya adalah 4.
Selanjutnya, kita melihat derajat variabel-variabel ini. Dalam faktor persekutuan, huruf-huruf tersebut harus mempunyai pangkat minimum yang terdapat dalam syarat-syaratnya. Jadi, variabel a dalam polinomial mempunyai derajat 3, 2, dan 4 (minimal 2), maka faktor persekutuannya adalah a 2. Variabel b mempunyai derajat minimal 3, maka faktor persekutuannya adalah b 3:
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)
Akibatnya, sisa suku 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 tidak mempunyai satu variabel huruf yang sama, dan koefisiennya 2, 3 dan 4 tidak mempunyai pembagi persekutuan.
Tidak hanya monomial, polinomial juga bisa dikeluarkan dari tanda kurung. Misalnya:
x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)
Satu contoh lagi. Hal ini diperlukan untuk memperluas ekspresi
5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)
Larutan. Ingatlah bahwa tanda minus membalikkan tanda dalam tanda kurung, jadi
-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y
Artinya kita bisa mengganti (3x - 8y) dengan - (8y - 3x):
5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)
Jawaban: (8y - 3x)(5t - 2s).
Ingatlah bahwa pengurang dan minuend dapat ditukar dengan mengubah tanda di depan tanda kurung:
(a - b) = - (b - a)
Kebalikannya juga benar: tanda minus yang ada di depan tanda kurung dapat dihilangkan dengan menukar tanda pengurang dan minuend secara bersamaan:
Teknik ini sering digunakan ketika memecahkan masalah.
Metode pengelompokan
Mari kita pertimbangkan cara lain untuk memfaktorkan suatu polinomial, yang membantu memperluas polinomial tersebut. Biarkan ada ekspresi
ab - 5a + bc - 5c
Tidak mungkin menurunkan faktor persekutuan pada keempat monomial. Namun, Anda dapat membayangkan polinomial ini sebagai jumlah dari dua polinomial, dan pada masing-masing polinomial tersebut keluarkan variabelnya dari tanda kurung:
ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)
Sekarang kita dapat memperoleh ekspresi b - 5:
a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)
Kami “mengelompokkan” suku pertama dengan suku kedua, dan suku ketiga dengan suku keempat. Oleh karena itu, metode yang diuraikan ini disebut metode pengelompokan.
Contoh. Mari kita perluas polinomial 6xy + ab- 2bx- 3ay.
Larutan. Pengelompokan suku ke-1 dan ke-2 tidak mungkin dilakukan karena keduanya tidak mempunyai faktor persekutuan. Oleh karena itu, mari kita tukar monomialnya:
6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)
Selisih 3y - b dan b - 3y hanya berbeda pada urutan variabelnya saja. Di salah satu tanda kurung dapat diubah dengan mengeluarkan tanda minus dari tanda kurung:
(b - 3 tahun) = - (3 tahun - b)
Mari gunakan pengganti ini:
2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)
Hasilnya, kami mendapat identitas:
6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)
Jawaban: (3y - b)(2x - a)
Anda dapat mengelompokkan tidak hanya dua, tetapi secara umum sejumlah istilah. Misalnya pada polinomial
x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z
kita dapat mengelompokkan tiga monomial pertama dan 3 monomial terakhir:
x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)
Sekarang mari kita lihat tugas yang semakin kompleks
Contoh. Perluas trinomial kuadrat x 2 - 8x +15.
Larutan. Polinomial ini hanya terdiri dari 3 monomial, sehingga tampaknya pengelompokan tidak dapat dilakukan. Namun, Anda dapat melakukan penggantian berikut:
Maka trinomial aslinya dapat direpresentasikan sebagai berikut:
x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15
Mari kita kelompokkan istilah-istilahnya:
x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)
Jawaban: (x- 5)(x - 3).
Tentu saja tidak mudah untuk menebak penggantian - 8x = - 3x - 5x pada contoh di atas. Mari kita tunjukkan alasan yang berbeda. Kita perlu memperluas polinomial derajat kedua. Seperti yang kita ingat, saat mengalikan polinomial, pangkatnya bertambah. Artinya, meskipun kita dapat memfaktorkan suatu trinomial kuadrat menjadi dua faktor, keduanya akan menjadi dua polinomial derajat 1. Mari kita tuliskan hasil kali dua polinomial derajat pertama, yang koefisien utamanya sama dengan 1:
(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab
Di sini kita menyatakan a dan b sebagai bilangan sembarang. Agar hasil kali ini sama dengan trinomial asli x 2 - 8x +15, perlu untuk memilih koefisien yang sesuai untuk variabel:
Dengan menggunakan seleksi, kita dapat menentukan bahwa bilangan a = - 3 dan b = - 5 memenuhi syarat ini
(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15
yang dapat dilihat dengan membuka tanda kurung.
Untuk mempermudah, kami hanya mempertimbangkan kasus ketika polinomial derajat 1 yang dikalikan memiliki koefisien terdepan sama dengan 1. Namun, keduanya bisa sama, misalnya, dengan 0,5 dan 2. Dalam kasus ini, perluasannya akan terlihat sedikit berbeda:
x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0,5x - 2,5)
Namun, dengan mengambil koefisien 2 dari tanda kurung pertama dan mengalikannya dengan tanda kurung kedua, kita akan memperoleh pemuaian awal:
(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3)(x - 5)
Dalam contoh yang dibahas, kami memperluas trinomial kuadrat menjadi dua polinomial derajat pertama. Kita harus sering melakukan ini di masa depan. Namun, perlu diperhatikan bahwa beberapa trinomial kuadrat, mis.
tidak mungkin untuk menguraikan dengan cara ini menjadi produk polinomial. Ini akan dibuktikan nanti.
Penerapan pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial dapat membuat beberapa operasi menjadi lebih mudah. Biarkan perlu menghitung nilai ekspresi
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9
Mari kita keluarkan angka 2, dan derajat setiap suku akan berkurang satu:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)
Mari kita nyatakan jumlahnya
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8
untuk x. Maka persamaan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang:
x + 2 9 = 2(1 + x)
Kita punya persamaan, mari kita selesaikan (lihat pelajaran persamaan):
x + 2 9 = 2(1 + x)
x + 2 9 = 2 + 2x
2x - x = 2 9 - 2
x = 512 - 2 = 510
Sekarang mari kita nyatakan jumlah yang kita cari dalam x:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022
Saat menyelesaikan soal ini, kami menaikkan angka 2 hanya ke pangkat 9, dan semua operasi eksponensial lainnya dihilangkan dari perhitungan dengan memfaktorkan polinomial. Demikian pula, Anda dapat membuat rumus penghitungan untuk jumlah serupa lainnya.
Sekarang mari kita hitung nilai ekspresi tersebut
38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4
38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890
81 4 - 9 7 + 3 12
habis dibagi 73. Perhatikan bahwa angka 9 dan 81 merupakan pangkat tiga:
81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4
Mengetahui hal ini, mari kita buat pengganti pada ekspresi aslinya:
81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12
Mari kita ambil 3 12:
3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73
Hasil kali 3 12 ,73 habis dibagi 73 (karena salah satu faktornya habis dibagi), oleh karena itu persamaan 81 4 - 9 7 + 3 12 habis dibagi dengan bilangan ini.
Anjak piutang dapat digunakan untuk membuktikan identitas. Misalnya, mari kita buktikan persamaannya
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
Untuk menyelesaikan identitas, kita mentransformasikan ruas kiri persamaan dengan menghilangkan faktor persekutuannya:
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2 )
(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2 ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z )(Sebuah + 2) = Sebuah(Sebuah + 1)(Sebuah + 2)(Sebuah + 3)
Satu contoh lagi. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang nilai variabel x dan y ekspresi
(x - y)(x + y) - 2x(x - y)
bukan bilangan positif.
Larutan. Mari kita keluarkan faktor persekutuan x - y:
(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)
Harap dicatat bahwa kami telah memperoleh produk dari dua binomial serupa, hanya berbeda dalam urutan huruf x dan y. Jika kita menukar variabel dalam salah satu tanda kurung, kita akan mendapatkan hasil kali dua ekspresi yang identik, yaitu persegi. Namun untuk menukar x dan y, Anda perlu memberi tanda minus di depan tanda kurung:
(x - kamu) = -(kamu - x)
Kemudian kita dapat menulis:
(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2
Seperti yang Anda ketahui, kuadrat suatu bilangan lebih besar dari atau sama dengan nol. Hal ini juga berlaku untuk ekspresi (y - x) 2. Jika ada tanda minus di depan ekspresi, maka harus lebih kecil atau sama dengan nol, artinya bukan bilangan positif.
Ekspansi polinomial membantu menyelesaikan beberapa persamaan. Pernyataan berikut digunakan:
Jika satu bagian persamaan mengandung nol, dan bagian lainnya merupakan hasil kali faktor, maka masing-masing bagian persamaan tersebut harus sama dengan nol.
Contoh. Selesaikan persamaan (s - 1)(s + 1) = 0.
Larutan. Hasil kali monomial s - 1 dan s + 1 ditulis di ruas kiri, dan nol ditulis di ruas kanan. Oleh karena itu, nol harus sama dengan s - 1 atau s + 1:
(s - 1)(s + 1) = 0
s - 1 = 0 atau s + 1 = 0
s = 1 atau s = -1
Masing-masing dari dua nilai yang diperoleh dari variabel s merupakan akar persamaan, yaitu mempunyai dua akar.
Jawaban 1; 1.
Contoh. Selesaikan persamaan 5w 2 - 15w = 0.
Larutan. Mari kita keluarkan 5w:
Sekali lagi, pekerjaan ditulis di sisi kiri, dan angka nol di sisi kanan. Mari kita lanjutkan dengan solusinya:
5w = 0 atau (w - 3) = 0
w = 0 atau w = 3
Jawaban: 0; 3.
Contoh. Temukan akar-akar persamaan k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.
Larutan. Mari kita kelompokkan istilah-istilahnya:
k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0
(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0
k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0
(k 3 + 3)(k - 8) = 0
k 2 + 3 = 0 atau k - 8 = 0
k 2 = -3 atau k = 8
Perhatikan bahwa persamaan k 2 = - 3 tidak mempunyai penyelesaian, karena bilangan apa pun yang dikuadratkan tidak kurang dari nol. Oleh karena itu, satu-satunya akar persamaan awal adalah k = 8.
Contoh. Temukan akar persamaannya
(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21
Solusi: Pindahkan semua suku ke sisi kiri, lalu kelompokkan suku-suku tersebut:
(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21
(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0
(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0
(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0
(2u - 12)(u + 3) = 0
2u - 12 = 0 atau u + 3 = 0
kamu = 6 atau kamu = -3
Jawaban: - 3; 6.
Contoh. Selesaikan persamaannya
(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2
(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2
(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0
(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0
(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0
t 2 - 5t = 0 atau t 2 - 5t + 6 = 0
t = 0 atau t - 5 = 0
t=0 atau t=5
Sekarang mari kita beralih ke persamaan kedua. Sekali lagi kita memiliki trinomial kuadrat. Untuk memfaktorkannya menjadi faktor-faktor menggunakan metode pengelompokan, Anda perlu menyajikannya sebagai jumlah dari 4 suku. Jika Anda melakukan penggantian - 5t = - 2t - 3t, maka Anda dapat mengelompokkan suku-sukunya lebih lanjut:
t 2 - 5t + 6 = 0
t 2 - 2t - 3t + 6 = 0
t(t - 2) - 3(t - 2) = 0
(t - 3)(t - 2) = 0
T - 3 = 0 atau t - 2 = 0
t=3 atau t=2
Hasilnya, kami menemukan bahwa persamaan awal memiliki 4 akar.
