Naudodami konkrečius pavyzdžius apsvarstykite, kaip daugianarį koeficientuoti.
Daugiavardžius išplėsime pagal .
Faktoringo polinomai:
Patikrinkite, ar yra bendras veiksnys. taip, tai lygu 7cd. Išimkime jį iš skliaustų:
Išraiška skliausteliuose susideda iš dviejų terminų. Nebėra bendro faktoriaus, išraiška nėra kubų sumos formulė, vadinasi, skaidymas baigtas.
Patikrinkite, ar yra bendras veiksnys. Nr. Polinomas susideda iš trijų narių, todėl patikriname, ar yra formulė pilna aikštė. Du nariai yra reiškinių kvadratai: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trečiasis narys yra lygus šių išraiškų dvigubai sandaugai: 2∙5x∙3y=30xy. Taigi šis daugianomas yra tobulas kvadratas. Kadangi dvigubas produktas yra su minuso ženklu, tai yra:
Patikriname, ar galima iš skliaustų išimti bendrą koeficientą. Yra bendras koeficientas, jis lygus a. Išimkime jį iš skliaustų:
Skliausteliuose yra du terminai. Patikriname, ar yra kvadratų skirtumo ar kubelių skirtumo formulė. a² yra a kvadratas, 1=1². Taigi, išraišką skliausteliuose galima parašyti pagal kvadratų skirtumo formulę:
Yra bendras koeficientas, jis lygus 5. Išimame jį iš skliaustų:
skliausteliuose yra trys terminai. Patikrinkite, ar išraiška yra tobulas kvadratas. Du nariai yra kvadratai: 16=4² ir a² yra a kvadratas, trečiasis narys yra lygus dvigubai 4 ir a sandaugai: 2∙4∙a=8a. Todėl tai tobula aikštė. Kadangi visi terminai yra su „+“ ženklu, skliausteliuose esanti išraiška yra visas sumos kvadratas:
Bendrasis koeficientas -2x išimamas iš skliaustų:
Skliausteliuose yra dviejų terminų suma. Patikriname, ar pateikta išraiška yra kubų suma. 64 = 4³, x³ kubas x. Taigi, dvinarį galima išplėsti pagal formulę:
Yra bendras veiksnys. Bet kadangi daugianarį sudaro 4 nariai, iš pradžių išimsime bendrą koeficientą ir tik tada išimsime iš skliaustų. Pirmąjį terminą sugrupuojame su ketvirtuoju, antrąjį - su trečiuoju:
Iš pirmųjų skliaustų išimame bendrą koeficientą 4a, iš antrojo - 8b:
Bendro daugiklio dar nėra. Norėdami jį gauti, iš antrųjų skliaustų išimsime skliaustus „-“, o kiekvienas skliausteliuose esantis ženklas pasikeis į priešingą:
Dabar iš skliaustų išimame bendrą koeficientą (1-3a):
Antruose skliaustuose yra bendras koeficientas 4 (tai yra tas pats veiksnys, kurio nepaėmėme iš skliaustų pavyzdžio pradžioje):
Kadangi daugianomas susideda iš keturių narių, atliekame grupavimą. Pirmąjį terminą sugrupuojame su antruoju, trečiąjį su ketvirtuoju:
Pirmuosiuose skliaustuose nėra bendro koeficiento, tačiau yra kvadratų skirtumo formulė, antruose skliaustuose bendras koeficientas yra -5:
Atsirado bendras faktorius (4m-3n). Išimkime jį iš skliaustų.
Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo išskaidymas yra prasmingas, kai jo laipsnis nėra žemesnis už antrąjį. Dauginamas su pirmuoju laipsniu vadinamas tiesiniu.
Straipsnyje bus atskleistos visos dekompozicijos sąvokos, teoriniai pagrindai ir daugianario faktorinavimo metodai.
teorija
1 teoremaKai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu laipsniu a n ir n tiesiniais koeficientais (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kur x i , i = 1 , 2 , … , n - tai daugianario šaknys.
Teorema skirta kompleksinio tipo x i , i = 1 , 2 , … , n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Tai yra bet kokio skilimo pagrindas.
Kai a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n formos koeficientai yra tikrieji skaičiai, tada konjuguotose porose atsiras kompleksinės šaknys. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2 yra susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, taigi gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
komentuoti
Polinomo šaknys gali kartotis. Apsvarstykite algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmes.
Pagrindinė algebros teorema
2 teoremaBet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.
Bezouto teorema
Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s) , tada gauname liekaną, kuri lygi polinomui taške s , tada gauname
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1 .
Išvada iš Bezout teoremos
Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s , tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.
Kvadratinio trinalio faktorinavimas
A x 2 + b x + c formos kvadratinis trinaris gali būti įtrauktas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).
Tai rodo, kad pats skilimas redukuojasi iki tirpalo kvadratinė lygtis po to.
1 pavyzdys
Kvadratinės trinario koeficientas.
Sprendimas
Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, pagal formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Todėl mes tai turime
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Iš čia gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po patikrinimo pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad plėtra yra teisinga.
2 pavyzdys
Padalinkite koeficientą kvadratinį trinarį formos 3 x 2 - 7 x - 11 .
Sprendimas
Gauname, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai gauname
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 m
Iš čia gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
3 pavyzdys
Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.
Sprendimas
Dabar reikia išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai gauname
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad patį skaidymą galima pavaizduoti kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
4 pavyzdys
Išplėskite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .
Sprendimas
Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Gavę šaknis, rašome
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
komentuoti
Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, tai daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad mes jų neskaidysime į tiesinius veiksnius.
Didesnio už antrąjį laipsnio daugianario faktorinavimo metodai
Skaidymo metodas yra universalus. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies reikšmę x 1 ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1) . Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką skaidymą.
Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Šioje temoje sprendžiamos lygtys su didesniais laipsniais ir sveikųjų skaičių koeficientais.
Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų
Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .
Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 \u003d 0, tada daugianarį galite pavaizduoti išraiškos P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + forma. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Laikoma, kad šis metodas išima bendrą veiksnį iš skliaustų.
5 pavyzdys
Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Sprendimas
Matome, kad x 1 \u003d 0 yra nurodyto daugianario šaknis, tada galime skliausteliuose x iš visos išraiškos. Mes gauname:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Tada iš to seka
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pirmiausia panagrinėkime skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0 , kur didžiausios galios koeficientas yra 1 .
Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.
6 pavyzdys
Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Sprendimas
Apsvarstykite, ar yra sveikųjų skaičių šaknų. Būtina išrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti pagal Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:
Iš to išplaukia, kad x \u003d 2 ir x \u003d - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurios gali būti pavaizduotos kaip formos sandauga:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Kreipiamės į x 2 + 2 x + 3 formos kvadratinio trinalio skaidymą.
Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.
Atsakymas: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
komentuoti
Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Toliau nagrinėkime daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientus, išplėtimą. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias nelygu vienetui.
Šis atvejis taikomas trupmeninėms racionaliosioms trupmenoms.
7 pavyzdys
Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Sprendimas
Reikia pakeisti kintamąjį y = 2 x , pereiti prie daugianario, kurio koeficientai lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai gauname
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kai gautos formos g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jų radinys yra tarp laisvojo termino daliklių. Įrašas atrodys taip:
±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60
Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai gauname
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Gauname, kad y \u003d - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 lygties šaknis, o tai reiškia, kad x \u003d y 2 \u003d - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.
8 pavyzdys
Būtina padalyti iš stulpelio 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.
Sprendimas
Rašome ir gauname:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Patikrinti daliklius užtruks daug laiko, todėl pelningiau skaičiuoti gautą kvadratinį trinarį, kurio formos x 2 + 7 x + 3. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Iš to išplaukia
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Dirbtinės gudrybės skaičiuojant daugianarį
Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išskaidyti arba pateikti kaip sandauga.
Grupavimo metodas
Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išimtumėte jį iš skliaustų.
9 pavyzdys
Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Sprendimas
Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, imame reikšmes 1 , - 1 , 2 ir - 2, kad apskaičiuotume daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai gauname
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Tai rodo, kad nėra šaknų, reikia naudoti kitokį skaidymo ir tirpinimo būdą.
Grupuoti būtina:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Sugrupavus pradinį daugianarį, reikia jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
komentuoti
Grupavimo paprastumas nereiškia, kad terminus pasirinkti pakankamai lengva. Tikslaus sprendimo būdo nėra, todėl reikia naudoti specialias teoremas ir taisykles.
10 pavyzdys
Padalinkite daugianarį x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Sprendimas
Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turėtų būti sugrupuoti. Mes tai gauname
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktoringo tai gauname
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2
Sutrumpintos daugybos ir Niutono dvinario formulių naudojimas daugianariui koeficientuoti
Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, kokį būdą naudoti skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariu.
11 pavyzdys
Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Sprendimas
Būtina išraišką konvertuoti į formą
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .
Taigi turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad ten nėra arklių, todėl vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname tokią išraišką kaip
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
12 pavyzdys
Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Sprendimas
Pakeiskime išraišką. Mes tai gauname
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį
Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.
13 pavyzdys
Faktorizuoti daugianarį formos x 6 + 5 x 3 + 6 .
Sprendimas
Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3 . Mes gauname:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Tai yra, mes gavome norimą plėtrą.
Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir apskaičiuoti daugianarį.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Ką daryti, jei spręsdami užduotį iš vieningo valstybinio egzamino arba per matematikos stojamąjį egzaminą gavote daugianarį, kurio negalima įvertinti standartiniais metodais, kuriuos išmokote mokykloje? Šiame straipsnyje matematikos dėstytojas papasakos apie vieną veiksmingą būdą, kurio tyrimas yra ne tik mokyklos mokymo programa, bet kurio pagalba nebus sunku apskaičiuoti daugianarį. Perskaitykite šį straipsnį iki galo ir žiūrėkite pridedamą vaizdo įrašą. Įgytos žinios padės išlaikyti egzaminą.
Polinomo faktorinavimas dalybos metodu
Jei gavote daugianarį, didesnį nei antrasis laipsnis, ir sugebėjote atspėti kintamojo reikšmę, kai šis daugianomas tampa lygus nuliui (pavyzdžiui, ši reikšmė lygi), žinokite! Šį daugianarį be liekanos galima padalyti iš .
Pavyzdžiui, nesunku pastebėti, kad ketvirtojo laipsnio daugianomas išnyksta ties . Tai reiškia, kad jį galima padalyti iš be liekanos ir taip gauti trečiojo laipsnio daugianarį (mažesnį už vieną). Tai yra, įdėkite jį į formą:
kur A, B, C ir D- kai kurie skaičiai. Išplėskime skliaustus:
Kadangi koeficientai ties lygiais laipsniais turėtų būti vienodi, gauname:
Taigi mes gavome:
Pirmyn. Pakanka surūšiuoti kelis mažus sveikuosius skaičius, kad pamatytumėte, jog trečiojo laipsnio daugianomas vėl dalijasi iš . Dėl to gaunamas antrojo laipsnio daugianomas (mažiau nei vienas). Tada pereiname prie naujo rekordo:
kur E, F ir G- kai kurie skaičiai. Dar kartą atidarę skliaustus, gauname tokią išraišką:
Vėlgi, iš koeficientų lygybės esant toms pačioms galioms sąlygos, gauname:
Tada gauname:
Tai yra, pradinį daugianarį galima apskaičiuoti taip:
Iš esmės, jei pageidaujama, naudojant kvadratų skirtumo formulę, rezultatas taip pat gali būti pateiktas tokia forma:
Taip paprasta ir efektyvus metodas daugianario faktorizacija. Atminkite, kad tai gali praversti per egzaminą ar matematikos olimpiadą. Patikrinkite, ar išmokote naudoti šį metodą. Pabandykite patys išspręsti šią problemą.
Padalinkite daugianario koeficientą:
Savo atsakymus rašykite komentaruose.
Parengė Sergejus Valerjevičius
Tai vienas iš elementariausių būdų supaprastinti išraišką. Norėdami pritaikyti šį metodą, prisiminkime daugybos skirstymo dėsnį sudėjimo atžvilgiu (nebijokite šių žodžių, jūs tikrai žinote šį dėsnį, tik galbūt pamiršote jo pavadinimą).
Įstatymas sako: norint padauginti dviejų skaičių sumą iš trečiojo skaičiaus, reikia padauginti kiekvieną terminą iš šio skaičiaus ir pridėti rezultatus, kitaip tariant,.
Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją, ir būtent ši atvirkštinė operacija mus domina. Kaip matyti iš pavyzdžio, bendras koeficientas a gali būti paimtas iš skliausto.
Panašią operaciją galima atlikti ir su kintamaisiais, tokiais kaip ir, pavyzdžiui, ir su skaičiais: .
Taip, tai per daug elementarus pavyzdys, kaip ir anksčiau pateiktas pavyzdys su skaičiaus išplėtimu, nes visi žino, kas yra skaičiai ir iš kurių dalijasi, bet kas būtų, jei gautumėte sudėtingesnę išraišką:
Kaip sužinoti, į ką, pavyzdžiui, padalintas skaičius, ne, su skaičiuotuvu gali bet kas, bet be jo jis silpnas? Ir tam yra dalijimosi ženklai, šiuos ženklus tikrai verta žinoti, jie padės greitai suprasti, ar įmanoma iš skliaustų ištraukti bendrą veiksnį.
Dalijimosi požymiai
Prisiminti juos nėra taip sunku, greičiausiai dauguma jų jums jau buvo pažįstami, ir kažkas bus naujas naudingas atradimas, daugiau informacijos rasite lentelėje:
Pastaba: lentelėje trūksta dalijimosi iš 4 ženklo. Jei paskutiniai du skaitmenys dalijasi iš 4, tai visas skaičius dalijasi iš 4.
Na, kaip jums patinka ženklas? Patariu tai atsiminti!
Na, grįžkim prie išsireiškimo, gal išimk iš skliaustų ir užteks? Ne, matematikams įprasta supaprastinti, todėl iki galo, išimk VISKAS, kas išimama!
Taigi, su grotuvu viskas aišku, o kaip su skaitine išraiškos dalimi? Abu skaičiai yra nelyginiai, todėl negalite padalyti iš
Galite naudoti dalijimosi iš ženklą skaitmenų suma ir, iš kurių susideda skaičius, yra lygus ir dalijasi iš, tai reiškia, kad dalijasi iš.
Žinodami tai, galite drąsiai suskirstyti į stulpelį, nes dalijant iš gauname (dalomumo ženklai pravertė!). Taigi, mes galime išimti skaičių iš skliausto, kaip ir y, ir dėl to turime:
Norėdami įsitikinti, kad viskas yra teisingai išskaidyta, galite patikrinti išplėtimą dauginant!
Taip pat bendras veiksnys gali būti pašalintas galios išraiškose. Pavyzdžiui, ar čia matote bendrą veiksnį?
Visi šios išraiškos nariai turi x – išimame, visus dalijame – vėl išimame, žiūrime, kas atsitiko: .
2. Sutrumpintos daugybos formulės
Sutrumpintos daugybos formulės jau buvo paminėtos teoriškai, jei sunkiai atsimenate, kas tai yra, tuomet turėtumėte jas atnaujinti atmintyje.
Na, o jei laikote save labai protingu ir tingite skaityti tokį informacijos debesį, tai tiesiog skaitykite, pažiūrėkite į formules ir iškart imkitės pavyzdžių.
Šio skilimo esmė yra pastebėti kokią nors apibrėžtą formulę prieš jus esančiame posakyje, pritaikyti ją ir taip gauti kažko ir kažko sandaugą, štai ir visas skilimas. Toliau pateikiamos formulės:
Dabar pabandykite apskaičiuoti šias išraiškas naudodami aukščiau pateiktas formules:
Ir štai kas turėjo nutikti:
Kaip pastebėjote, šios formulės yra labai efektyvus būdas faktorizavimas, jis ne visada tinkamas, bet gali būti labai naudingas!
3. Grupavimas arba grupavimo metodas
Štai jums dar vienas pavyzdys:
Na, ką tu ketini su juo daryti? Atrodo, kad jis yra padalintas į kažką ir į kažką, o kažkas į ir į ką nors
Bet jūs negalite padalinti visko į vieną dalyką, gerai bendro faktoriaus nėra, kaip neieškoti ko, o palikti be faktoringo?
Čia reikia parodyti išradingumą, o šio išradingumo pavadinimas yra grupuotė!
Jis naudojamas tik tada, kai ne visi nariai turi bendrus daliklius. Norint sugrupuoti reikia rasti terminų grupes, turinčias bendrus daliklius ir pertvarkyti juos taip, kad iš kiekvienos grupės būtų galima gauti tą patį daugiklį.
Žinoma, nebūtina pertvarkyti vietomis, bet tai suteikia matomumo, aiškumo dėlei atskiras išraiškos dalis galite paimti skliausteliuose, nedraudžiama jų dėti tiek, kiek norite, svarbiausia ne supainioti ženklus.
Visa tai nėra labai aišku? Leiskite man paaiškinti pavyzdžiu:
Į daugianarį - įdėkite narį - po nario - gauname
pirmus du terminus sugrupuojame į atskirą skliaustą ir trečią bei ketvirtą terminus sugrupuojame taip pat, palikdami minuso ženklą iš skliausto, gauname:
Ir dabar mes atskirai žiūrime į kiekvieną iš dviejų „krūvų“, į kurias sulaužėme išraišką skliaustuose.
Gudrybė yra suskaldyti į tokias krūvas, iš kurių bus galima ištraukti kuo didesnį faktorių, arba, kaip šiame pavyzdyje, bandyti sugrupuoti narius taip, kad išėmę faktorius iš skliaustų iš polių, mes skliausteliuose turi tas pačias išraiškas.
Iš abiejų skliaustų išimame bendrus narių veiksnius, iš pirmojo skliausčio ir iš antrojo skliausčio gauname:
Bet tai ne skilimas!
Pasilas skilimas turėtų likti tik daugyba, bet kol kas turime daugianarį, tiesiog padalintą į dvi dalis...
BET! Šis daugianomas turi bendrą koeficientą. tai
už laikiklio ribų ir gauname galutinį produktą
Bingo! Kaip matote, sandauga jau yra ir už skliaustų nėra nei sudėties, nei atimties, skaidymas baigtas, nes daugiau neturime ką išimti iš skliaustų.
Stebuklas gali atrodyti, kad iš skliaustų išėmę faktorius, skliausteliuose vis dar turime tuos pačius posakius, kuriuos ir vėl ištraukėme iš skliaustų.
Ir tai visai ne stebuklas, faktas yra tas, kad pavyzdžiai vadovėliuose ir egzamine yra specialiai padaryti taip, kad dauguma užduočių išsireiškimų supaprastinimui ar faktorizavimas su teisingu požiūriu į juos jie lengvai supaprastinami ir staiga subyra kaip skėtis paspaudus mygtuką, todėl kiekvienoje išraiškoje ieškokite būtent to mygtuko.
Kažko nukrypstu, ką mes turime supaprastinus? Sudėtingas daugianario įgavo paprastesnę formą: .
Sutikite, ne toks didelis, kaip buvo anksčiau?
4. Viso kvadrato parinkimas.
Kartais, norint pritaikyti sutrumpinto daugybos formules (pakartoti temą), reikia transformuoti esamą daugianarį, pateikiant vieną iš jo narių kaip dviejų narių sumą arba skirtumą.
Tokiu atveju jūs turite tai padaryti, sužinosite iš pavyzdžio:
Šios formos daugianario negalima skaidyti naudojant sutrumpintas daugybos formules, todėl jį reikia konvertuoti. Galbūt iš pradžių jums nebus aišku, į kurį terminą skirstyti, bet laikui bėgant išmoksite iš karto pamatyti sutrumpintas daugybos formules, net jei jų nėra visos, ir greitai nustatysite, ko čia trūksta . pilna formulė, bet kol kas – studijuoti, studentas, o tiksliau – moksleivis.
Čia jums reikia visos skirtumo kvadrato formulės. Trečiąjį terminą pavaizduokime kaip skirtumą, gausime: Skirtumo kvadrato formulę galime pritaikyti skliausteliuose esančiai išraiškai (nepainioti su kvadratų skirtumu!!!), turime: , šiai išraiškai galime pritaikyti kvadratų skirtumo formulę (nepainioti su skirtumu kvadratu!!!), įsivaizduodami, kaip, gauname: .
Ne visada į veiksnius įtraukta išraiška atrodo paprastesnė ir mažesnė, nei buvo prieš skaidymą, tačiau tokia forma ji tampa mobilesnė ta prasme, kad negalima jaudintis dėl besikeičiančių ženklų ir kitų matematinių nesąmonių. Na, kad galėtumėte nuspręsti patys, reikia atsižvelgti į šiuos posakius.
Pavyzdžiai:
Atsakymai:
5. Kvadratinio trinalio faktorinavimas
Kvadratinio trinalio faktorinavimą žr. toliau pateiktuose išskaidymo pavyzdžiuose.
5 polinomo faktorinavimo metodų pavyzdžiai
1. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų. Pavyzdžiai.
Ar prisimeni, kas yra paskirstymo įstatymas? Tai tokia taisyklė:
Pavyzdys:
Padalinkite daugianario koeficientą.
Sprendimas:
Kitas pavyzdys:
Padauginti.
Sprendimas:
Jei visas terminas išimamas iš skliaustų, skliausteliuose vietoj jo lieka vienas!
2. Sutrumpinto daugybos formulės. Pavyzdžiai.
Dažniausiai naudojamos formulės yra kvadratų skirtumas, kubelių skirtumas ir kubelių suma. Prisimeni šias formules? Jei ne, skubiai pakartokite temą!
Pavyzdys:
Įvertinkite išraišką.
Sprendimas:
Šioje išraiškoje nesunku sužinoti kubelių skirtumą:
Pavyzdys:
Sprendimas:
3. Grupavimo metodas. Pavyzdžiai
Kartais terminus galima sukeisti taip, kad iš kiekvienos gretimų terminų poros būtų galima išskirti vieną ir tą patį veiksnį. Šis bendras veiksnys gali būti pašalintas iš skliausto ir pradinis daugianomas pavirs sandauga.
Pavyzdys:
Išskaidykite daugianarį.
Sprendimas:
Sąvokas sugrupuojame taip:
.
Pirmoje grupėje iš skliaustų išimame bendrą koeficientą, o antroje -:
.
Dabar bendrą veiksnį taip pat galima išimti iš skliaustų:
.
4. Viso kvadrato parinkimo būdas. Pavyzdžiai.
Jei daugianarį galima pavaizduoti kaip dviejų reiškinių kvadratų skirtumą, belieka taikyti sutrumpintą daugybos formulę (kvadratų skirtumas).
Pavyzdys:
Išskaidykite daugianarį.
Sprendimas:Pavyzdys:
\begin(masyvas)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\trumpas(((x)^(2))+2\ctaškas 3\ctaškas x+9)_(kvadratas\ sumos\ ((\left) (x+3 \dešinė))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(masyvas)
Išskaidykite daugianarį.
Sprendimas:
\begin(masyvas)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\trumpa(((x)^(4))-2\ctaškas 2\ctaškas ((x)^(2) )+4)_(kvadratas\ skirtumai((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \dešinė))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(masyvas)
5. Kvadratinio trinalio faktorinavimas. Pavyzdys.
Kvadratinis trinaris yra daugianario formos, kur nežinomas, yra keletas skaičių, be to.
Kintamosios reikšmės, kurios kvadratinį trinarį paverčia nuliu, vadinamos trinalio šaknimis. Todėl trinalio šaknys yra kvadratinės lygties šaknys.
Teorema.
Pavyzdys:
Išskaidykime kvadratinį trinarį: .
Pirmiausia išsprendžiame kvadratinę lygtį: Dabar galime parašyti šio kvadratinio trinalio faktorių skirstymą į veiksnius:
Dabar tavo nuomonė...
Išsamiai aprašėme, kaip ir kodėl reikia koeficientuoti daugianarį.
Mes pateikėme daug pavyzdžių, kaip tai padaryti praktiškai, nurodėme spąstus, pateikėme sprendimus ...
Ką tu sakai?
Kaip jums patinka šis straipsnis? Ar naudojate šiuos triukus? Ar supranti jų esmę?
Rašyk komentaruose ir... ruoškis egzaminui!
Kol kas tai yra svarbiausias dalykas tavo gyvenime.
Ankstesnėje pamokoje nagrinėjome daugianario daugybą iš monomio. Pavyzdžiui, monomio a ir daugianario b + c sandauga randama taip:
a(b + c) = ab + bc
Tačiau kai kuriais atvejais patogiau atlikti atvirkštinę operaciją, kurią galima pavadinti bendro koeficiento išėmimu iš skliaustų:
ab + bc = a(b + c)
Pavyzdžiui, tarkime, kad turime apskaičiuoti daugianario ab + bc reikšmę su kintamųjų reikšmėmis a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Jei juos pakeisime tiesiai į išraišką, gausime
ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8
ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156
Šiuo atveju daugianarį ab + bc pavaizdavome kaip dviejų veiksnių sandaugą: a ir b + c. Šis veiksmas vadinamas daugianario faktorizavimu.
Be to, kiekvienas veiksnys, į kurį išskaidomas daugianomas, savo ruožtu gali būti daugianomas arba mononomas.
Apsvarstykite daugianarį 14ab - 63b 2 . Kiekvienas iš jo sudedamųjų monomijų gali būti pavaizduotas kaip produktas:
Matyti, kad abu daugianariai turi bendrą koeficientą 7b. Taigi, jį galima išimti iš skliaustų:
14ab – 63b 2 = 7b*2a – 7b*9b = 7b (2a–9b)
Galite patikrinti koeficiento išėmimo iš skliaustų teisingumą naudodami atvirkštinę operaciją - skliaustą išplečiant:
7b (2a - 9b) = 7b * 2a - 7b * 9b = 14ab - 63b 2
Svarbu suprasti, kad dažnai daugianarį galima išplėsti keliais būdais, pavyzdžiui:
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc (5a + 6d)
Paprastai jie stengiasi ištverti, grubiai tariant, „didžiausią“ monomiją. Tai yra, daugianaris yra išdėstytas taip, kad iš likusio daugianario nieko daugiau nebūtų galima išimti. Taigi, skirstant
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)
vienanarių, turinčių bendrą koeficientą c, suma lieka skliausteliuose. Jei taip pat išimsime, tada skliausteliuose nebus bendrų veiksnių:
b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)
Išsamiau paanalizuokime, kaip rasti bendrus monomijų veiksnius. Padalinkime sumą
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10
Jį sudaro trys terminai. Pirmiausia pažvelkime į prieš juos esančius skaitinius koeficientus. Tai yra 8, 12 ir 16. 6 klasės 3 pamokoje buvo svarstoma GCD tema ir jos radimo algoritmas.Tai didžiausias bendras daliklis. Beveik visada galite pasiimti žodžiu. Bendrojo koeficiento skaitinis koeficientas bus tik daugianario narių skaitinių koeficientų GCD. Šiuo atveju skaičius yra 4.
Toliau apžvelgsime šių kintamųjų laipsnius. Bendrajame koeficiente raidės turi turėti minimalius laipsnius, kurie pasitaiko terminuose. Taigi, kintamasis a 3, 2 ir 4 laipsnio polinome (mažiausiai 2), taigi bendras koeficientas bus 2 . Kintamojo b minimalus laipsnis yra 3, taigi bendras koeficientas bus b 3:
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)
Dėl to likę terminai 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 neturi bendro raidžių kintamojo, o jų koeficientai 2, 3 ir 4 neturi bendrų daliklių.
Iš skliaustų galite išimti ne tik vienanarius, bet ir daugianarius. Pavyzdžiui:
x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5) (x+2y)
Dar vienas pavyzdys. Būtina išplėsti išraišką
5 t (8 m. - 3x) + 2 s (3x - 8 m.)
Sprendimas. Prisiminkite, kad minuso ženklas apverčia skliausteliuose esančius ženklus, taigi
-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8m
Taigi galite pakeisti (3x - 8y) į - (8y - 3x):
5 t (8 m - 3x) + 2 t (3x - 8x) = 5 t (8 m - 3x) + 2* (-1) s (8 m - 3x) = (8 m - 3x) (5 t - 2 s)
Atsakymas: (8m - 3x)(5t - 2s).
Atminkite, kad atimtą ir sumažintą skaičių galima sukeisti pakeitus ženklą prieš skliaustus:
(a – b) = – (b – a)
Taip pat yra priešingai: priešais skliaustus esantį minusą galima pašalinti, jei atimta ir sumažinta vienu metu pertvarkoma:
Ši technika dažnai naudojama sprendžiant problemas.
Grupavimo metodas
Apsvarstykite kitą daugianario faktorinavimo būdą, kuris padeda daugianario koeficientą. Tegul būna išraiška
ab - 5a + bc - 5c
Neįmanoma išskirti koeficiento, kuris yra bendras visiems keturiems monomams. Tačiau šį daugianarį galite pateikti kaip dviejų daugianarių sumą ir kiekviename iš jų išimkite kintamąjį iš skliaustų:
ab – 5a + bc – 5c = (ab – 5a) + (bc – 5c) = a (b – 5) + c (b – 5)
Dabar galite išimti išraišką b - 5:
a(b – 5) + c(b – 5) = (b – 5) (a + c)
Pirmą kadenciją „sugrupavome“ su antrąja, o trečią – su ketvirtąja. Todėl aprašytas metodas vadinamas grupavimo metodu.
Pavyzdys. Išplėskime daugianarį 6xy + ab- 2bx- 3ay.
Sprendimas. 1 ir 2 terminų sugrupuoti neįmanoma, nes jie neturi bendro veiksnio. Taigi, pakeiskime monomijomis:
6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x (3y - b) + a(b - 3y)
Skirtumai 3y - b ir b - 3y skiriasi tik kintamųjų tvarka. Viename iš skliaustų jį galima pakeisti perkeliant minuso ženklą iš skliaustų:
(b – 3y) = – (3y – b)
Mes naudojame šį pakaitalą:
2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)
Rezultatas yra tapatybė:
6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b) (2x - a)
Atsakymas: (3 m - b) (2x - a)
Galite sugrupuoti ne tik du, bet apskritai bet kokį terminų skaičių. Pavyzdžiui, daugianario
x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z
galite sugrupuoti pirmuosius tris ir paskutinius 3 monomus:
x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2 (x - 3y + z) = (x + 2) (x - 3y + z)
Dabar pažvelkime į padidinto sudėtingumo užduotį
Pavyzdys. Išplėskite kvadratinį trinarį x 2 – 8x +15.
Sprendimas. Šis daugianomas susideda tik iš 3 vienanarių, todėl, kaip atrodo, grupavimas negali būti atliktas. Tačiau galite atlikti šiuos pakeitimus:
Tada pradinį trinarį galima pavaizduoti taip:
x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15
Sugrupuokime terminus:
x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x (x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)
Atsakymas: (x - 5) (x - 3).
Žinoma, atspėti apie pakeitimą - 8x = - 3x - 5x aukščiau pateiktame pavyzdyje nėra lengva. Parodykime kitokią samprotavimo liniją. Turime išplėsti antrojo laipsnio daugianarį. Kaip prisimename, dauginant daugianarius, jų laipsniai pridedami. Tai reiškia, kad jei galime išskaidyti kvadratinį trinarį į du veiksnius, tai bus du 1-ojo laipsnio daugianariai. Parašykime dviejų pirmojo laipsnio daugianario sandaugą, kurių pirmaujantys koeficientai lygūs 1:
(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab
Čia a ir b yra keli savavališki skaičiai. Kad ši sandauga būtų lygi pradiniam trinaliui x 2 - 8x +15, reikia parinkti tinkamus kintamųjų koeficientus:
Atrankos pagalba galima nustatyti, kad šią sąlygą tenkina skaičiai a= - 3 ir b = - 5. Tada
(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15
kurią galima patikrinti atidarius skliaustus.
Paprastumo dėlei nagrinėjome tik atvejį, kai padauginti 1-ojo laipsnio daugianariai turi didžiausius koeficientus, lygius 1. Tačiau jie galėtų būti lygūs, pavyzdžiui, 0,5 ir 2. Tokiu atveju plėtra atrodytų kiek kitaip:
x 2 * 8x + 15 = (2x - 6) (0,5x - 2,5)
Tačiau iš pirmo skliausto išėmę koeficientą 2 ir padauginę jį iš antrojo, gautume pradinį išplėtimą:
(2x - 6) (0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3) (x - 5)
Nagrinėjamame pavyzdyje kvadratinį trinarį išskaidėme į du pirmojo laipsnio daugianorius. Ateityje dažnai turėsime tai daryti. Tačiau verta paminėti, kad kai kurie kvadratiniai trinariai, pavyzdžiui,
tokiu būdu išskaidyti į daugianario sandaugą neįmanoma. Tai bus įrodyta vėliau.
Daugiavardžių faktorizavimo taikymas
Dauginamo koeficientas gali supaprastinti kai kurias operacijas. Tegul reikia įvertinti išraiškos reikšmę
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9
Išimame skaičių 2, o kiekvieno termino laipsnis sumažėja vienu:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)
Pažymėkite sumą
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8
už x. Tada aukščiau pateiktą lygtį galima perrašyti:
x + 2 9 = 2 (1 + x)
Gavome lygtį, ją išspręsime (žr. lygties pamoką):
x + 2 9 = 2 (1 + x)
x + 2 9 = 2 + 2x
2x - x = 2 9 - 2
x = 512 – 2 = 510
Dabar išreikškime sumą, kurios ieškome, kaip x:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022
Spręsdami šią užduotį, skaičių 2 pakėlėme tik iki 9 laipsnio, o visas kitas eksponencijos operacijas pavyko iš skaičiavimų išbraukti, skaičiuojant daugianarį. Panašiai galite sudaryti kitų panašių sumų skaičiavimo formulę.
Dabar apskaičiuokime išraiškos reikšmę
38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4
38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890
81 4 - 9 7 + 3 12
dalijasi iš 73. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 9 ir 81 yra trijų laipsniai:
81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4
Žinodami tai, pakeisime pradinę išraišką:
81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12
Išimkime 3 12:
3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73
sandauga 3 12 .73 dalijasi iš 73 (kadangi vienas iš faktorių dalijasi iš jo), todėl išraiška 81 4 - 9 7 + 3 12 dalijasi iš šio skaičiaus.
Faktoringas gali būti naudojamas tapatybei įrodyti. Pavyzdžiui, įrodykime lygybės pagrįstumą
(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
Norėdami išspręsti tapatybę, mes transformuojame kairę lygybės pusę, pašalindami bendrą veiksnį:
(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a) + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2 )
(a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a) (a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a) ((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a) (a (a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a) (a + 1) (a + 2) = a (a + 3) (a + z) )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2) (a + 3)
Dar vienas pavyzdys. Įrodykime, kad bet kurioms kintamųjų x ir y reikšmėms išraiška
(x - y) (x + y) - 2x (x - y)
nėra teigiamas skaičius.
Sprendimas. Išimkime bendrą koeficientą x - y:
(x - y) (x + y) - 2x (x - y) = (x - y) (x + y - 2x) = (x - y) (y - x)
Atkreipkite dėmesį, kad gavome dviejų panašių dvinarių sandaugą, kurios skiriasi tik raidžių x ir y tvarka. Jei pakeistume kintamuosius viename iš skliaustų, gautume dviejų identiškų išraiškų sandaugą, tai yra kvadratą. Bet norint sukeisti x ir y, prieš skliaustą reikia įdėti minuso ženklą:
(x – y) = -(y – x)
Tada galite parašyti:
(x - y) (y - x) = -(y - x) (y - x) = -(y - x) 2
Kaip žinote, bet kurio skaičiaus kvadratas yra didesnis arba lygus nuliui. Tai taip pat taikoma išraiškai (y - x) 2 . Jei prieš išraišką yra minusas, tada jis turi būti mažesnis arba lygus nuliui, tai yra, tai nėra teigiamas skaičius.
Polinomo plėtra padeda išspręsti kai kurias lygtis. Tam naudojamas šis teiginys:
Jei vienoje lygties dalyje yra nulis, o kitoje faktorių sandauga, tai kiekvienas iš jų turi būti prilygintas nuliui.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį (s - 1)(s + 1) = 0.
Sprendimas. Kairėje pusėje rašoma monomijų sandauga s - 1 ir s + 1, o dešinėje - nulis. Todėl s - 1 arba s + 1 turi būti lygus nuliui:
(s – 1) (s + 1) = 0
s - 1 = 0 arba s + 1 = 0
s = 1 arba s = -1
Kiekviena iš dviejų gautų kintamojo s reikšmių yra lygties šaknis, tai yra, ji turi dvi šaknis.
Atsakymas: -1; vienas.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį 5w 2 - 15w = 0.
Sprendimas. Išimkime 5w:
Vėlgi kairėje pusėje parašyta prekė, o dešinėje – nulis. Tęskime sprendimą:
5w = 0 arba (w - 3) = 0
w=0 arba w=3
Atsakymas: 0; 3.
Pavyzdys. Raskite lygties k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0 šaknis.
Sprendimas. Sugrupuokime terminus:
k 3 - 8k 2 + 3k-24 = 0
(k 3 - 8k 2) + (3k - 24) = 0
k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0
(k 3 + 3) (k - 8) = 0
k 2 + 3 = 0 arba k - 8 = 0
k 2 \u003d -3 arba k = 8
Atkreipkite dėmesį, kad lygtis k 2 = - 3 neturi sprendimo, nes bet kuris skaičius kvadratu yra ne mažesnis už nulį. Todėl vienintelė pradinės lygties šaknis yra k = 8.
Pavyzdys. Raskite lygties šaknis
(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21
Sprendimas: perkelkite visus terminus į kairę pusę ir sugrupuokite terminus:
(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21
(2u - 5) (u + 3) - 7u - 21 = 0
(2u - 5) (u + 3) - 7 (u + 3) = 0
(2u - 5 - 7) (u + 3) = 0
(2u - 12) (u + 3) = 0
2u - 12 = 0 arba u + 3 = 0
u = 6 arba u = -3
Atsakymas: - 3; 6.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį
(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2
(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2
(t 2 - 5 t) 2 - (30 t - 6 t 2) = 0
(t 2 - 5 t) (t 2 - 5 t) + 6 (t 2 - 5 t) = 0
(t 2 - 5 t) (t 2 - 5 t + 6) = 0
t 2 - 5 t = 0 arba t 2 - 5 t + 6 = 0
t = 0 arba t - 5 = 0
t = 0 arba t = 5
Dabar pažvelkime į antrąją lygtį. Prieš mus vėl kvadratinis trinaris. Norėdami jį koeficientuoti grupavimo metodu, turite jį pateikti kaip 4 terminų sumą. Jei pakeisime - 5t = - 2t - 3t, tada terminus galime grupuoti toliau:
t 2 – 5t + 6 = 0
t 2 - 2t - 3t + 6 = 0
t(t - 2) - 3 (t - 2) = 0
(t - 3) (t - 2) = 0
T - 3 = 0 arba t - 2 = 0
t = 3 arba t = 2
Dėl to mes nustatėme, kad pradinė lygtis turi 4 šaknis.
