Definīcija.

Šis ir sešstūris, kura pamatnes ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri.

Sānu riba ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse

Prismas augstums ir taisnes nogrieznis, kas ir perpendikulārs prizmas pamatiem

Prizmas diagonāle- segments, kas savieno divas pamatu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai

Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām

Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkta robežas. Parastas četrstūra prizmas diagonālā daļa ir taisnstūris

Perpendikulārs griezums (ortogonāls griezums)- tas ir prizmas un plaknes, kas novilkta perpendikulāri tās sānu malām, krustpunkts

Regulāras četrstūra prizmas elementi

Attēlā parādītas divas regulāras četrstūra prizmas, kas apzīmētas ar atbilstošajiem burtiem:

• Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
• Sānu malas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
• Sānu virsma - visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
• Kopējā virsma - visu pamatu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
• Sānu ribas AA 1 , BB 1 , CC 1 un DD 1 .
• Diagonāle B 1 D
• Pamatnes diagonāle BD
• Diagonālais griezums BB 1 D 1 D
• Perpendikulārais griezums A 2 B 2 C 2 D 2 .

Regulāras četrstūra prizmas īpašības

• Pamati ir divi vienādi kvadrāti
• Pamatnes ir paralēlas viena otrai
• Malas ir taisnstūri.
• Sānu sejas ir vienādas viena ar otru
• Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
• Sānu ribas ir paralēlas viena otrai un vienādas
• Perpendikulārs griezums perpendikulārs visām sānu ribām un paralēls pamatnēm
• Perpendikulāri šķērsgriezuma leņķi - pa labi
• Parastas četrstūra prizmas diagonālā daļa ir taisnstūris
• Perpendikulārs (ortogonāls griezums) paralēli pamatiem

Formulas regulārai četrstūra prizmai

Norādījumi problēmu risināšanai

Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Tas ir, regulāra četrstūra prizma atrodas tās pamatnē kvadrāts. (skatīt iepriekš regulāras četrstūra prizmas īpašības) Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sekcija cietā ģeometrija - prizma). Lūk, uzdevumi, kuru risināšanā rodas grūtības. Ja jums ir jāatrisina problēma ģeometrijā, kuras šeit nav - rakstiet par to forumā. Lai norādītu ekstrakcijas darbību kvadrātsakne simbols tiek izmantots problēmu risināšanā√ .

Uzdevums.

Regulāras prizmas diagonāle veido taisnleņķa trīsstūri ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu. Attiecīgi, saskaņā ar Pitagora teorēmu, noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atbilde: 22 cm

Uzdevums

Risinājums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatne ir kvadrāts, tad pamatnes malu (apzīmē kā a) atrod Pitagora teorēma:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tad sānu virsmas augstums (apzīmēts ar h) būs vienāds ar:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Kopējais virsmas laukums būs vienāds ar sānu virsmas laukuma summu un divkāršu pamatplatību

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Kā izskatās parasta četrstūra prizma? un saņēmu vislabāko atbildi

Atbilde no Edit Piaf[guru]
Prizma ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes (prizmas pamatnes) ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlām malām, bet pārējās skaldnes ir paralelogrami, kuru plaknes ir paralēlas taisnei. Paralelogramus AabB, BbcC utt. sauc par sānu skaldnēm; malas Aa, Bb, Cc utt. sauc par sānu malām. Prizmas augstums ir jebkurš perpendikuls, kas nomests no jebkura pamatnes punkta uz otras pamatnes plakni. Atkarībā no daudzstūra formas, kas atrodas pie pamatnes, prizma var būt attiecīgi: trīsstūrveida, četrstūra, piecstūra, sešstūra uc Ja prizmas sānu malas ir perpendikulāras pamatplaknei, tad šādu prizmu sauc par taisne; pretējā gadījumā tā ir slīpa prizma. Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad šādu prizmu sauc arī par regulāru.
Parasta prizma ir taisna prizma, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, tas ir, šajā gadījumā, kvadrāts.
Es uzzīmēju taisnu prizmu, bet tā var būt slīpa

Atbilde no laimīgas beigas[guru]
kubs

Atbilde no 3 atbildes[guru]

Sveiki! Šeit ir tēmu izlase ar atbildēm uz jūsu jautājumu: Kā izskatās parasta četrstūra prizma?

Pamatlīmeņa LIETOŠANAS 13. uzdevumā aplūkosim problēmas stereometrijā, bet ne abstraktus, bet ilustratīvus piemērus. Tie var būt uzdevumi par šķidruma līmeni traukos, kurus es analizēju tālāk, vai uzdevumi, lai mainītu figūru, piemēram, kuras virsotnes ir nogrieztas. Jums jābūt gatavam tikt galā vienkāršus uzdevumus stereometrijas ziņā - tie parasti uzreiz nonāk pie uzdevumiem lidmašīnā, tikai pareizi jāskatās uz zīmējumu.

Tipisko variantu analīze uzdevumam Nr. 13 LIETOŠANA pamatlīmeņa matemātikā

Opcija 13MB1

Ūdens cilindriskā traukā ir līmenī h = 80 cm.. Kādā līmenī ūdens būs, ja to ielej citā cilindriskā traukā, kura pamatnes rādiuss ir 4 reizes lielāks par doto? Sniedziet atbildi centimetros.

Izpildes algoritms:

1. Pierakstiet cilindra tilpuma formulu.
2. Pirmajā un otrajā gadījumā aizstājiet šķidruma balona vērtības.
3. Atrisiniet iegūto vienādojumu attiecībā pret otro augstumu h 2 .
4. Aizstājiet datus un aprēķiniet vajadzīgo vērtību.

Risinājums:

Pierakstiet cilindra tilpuma formulu.

Ja esat aizmirsis cilindra tilpuma formulu, atgādināšu, kā to var viegli iegūt. Vienkāršu formu, piemēram, kuba un cilindra, tilpumu var aprēķināt, reizinot pamatnes laukumu ar augstumu. Pamatnes laukums cilindra gadījumā ir vienāds ar apļa laukumu, kuru, iespējams, atceraties: π r 2 .

Tāpēc cilindra tilpums ir π r 2 h

Aizstāsim cilindra vērtības ar šķidrumu pirmajā un otrajā gadījumā.

V 1 \u003d π r 1 2 h 1

V 2 \u003d π r 2 2 h 2

Šķidruma tilpums nemainījās, tāpēc tilpumus var pielīdzināt.

Kreisās puses ir vienādas, tāpēc jūs varat pielīdzināt labās puses.

π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2

Atrisinām iegūto vienādojumu attiecībā pret otro augstumu h 2 .

h 2 ir nezināms faktors. Lai atrastu nezināmo faktoru, produkts ir jāsadala ar zināmo faktoru.

h 2 \u003d (π r 1 2 h 1) / π r 2 2

Pēc nosacījuma bāzes laukums ir kļuvis 4 reizes lielāks, tas ir, r 2 \u003d 4 r 1.

H 1 izteiksmē aizstājiet r 2 = 4 r 1.

Mēs iegūstam: h 2 \u003d (π r 1 2 h 1) / π (4 r 1) 2

Mēs samazinām iegūto daļu par π, iegūstam h 2 \u003d (r 1 2 h 1) / 16 r 1 2

Mēs samazinām iegūto daļu par r 1, iegūstam h 2 \u003d h 1/16.

Aizstāsim zināmos datus: h 2 = 80/16 = 5 cm.

Opcija 13MB2

Dotas divas kastes, kurām ir regulāras četrstūra prizmas forma. Pirmā kaste ir četrarpus reizes augstāka par otro, bet otrā ir trīs reizes platāka par pirmo. Cik reizes pirmās kastes tilpums ir mazāks par otrās?

Izpildes algoritms:

1. Atrodiet tilpumu attiecību.
2. Samaziniet iegūto frakciju.

Risinājums:

V 1 \u003d a 1 b 1 c 1

V 2 \u003d a 2 b 2 c 2

Noskaidrosim apjomu attiecību.

Pēc nosacījuma c 1 \u003d 4,5 c 2 (pirmā kaste ir četrarpus reizes augstāka nekā otrā),

b 2 \u003d 3 b 1 (otrais lodziņš ir trīs reizes platāks nekā pirmais).

V 1 / V 2 \u003d (a 1 b 1 c 1) / (a ​​2 b 2 c 2) \u003d (a 1 b 1 4,5 c 2) / (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 4,5 c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

V 1 / V 2 \u003d (a 1 b 1 4,5 c 2) / (9a 1 b 1 c 2) \u003d 4,5 / 9 \u003d ½.

Pirmās kastes tilpums ir 2 reizes mazāks nekā otrās.

Opcija 13MB3

Dotas divas kastes, kurām ir regulāras četrstūra prizmas forma. Pirmā kaste ir pusotru reizi augstāka par otro, bet otrā ir trīs reizes platāka par pirmo. Cik reizes pirmās kastes tilpums ir mazāks par otrās?

Izpildes algoritms:

1. Pierakstiet formulu regulāras četrstūra prizmas tilpuma aprēķināšanai.
2. Rakstīt vispārējs skats formula tilpuma atrašanai pirmajā un otrajā gadījumā.
3. Atrodiet tilpumu attiecību.
4. Pārveidojiet iegūto izteiksmi, ņemot vērā pirmās un otrās prizmas mērījumu attiecību.
5. Samaziniet iegūto frakciju.

Risinājums:

Uzrakstīsim formulu regulāras četrstūra prizmas tilpuma aprēķināšanai.

Uzrakstīsim vispārīgā formā tilpuma atrašanas formulu pirmajā un otrajā gadījumā.

V 1 \u003d a 1 b 1 c 1

V 2 \u003d a 2 b 2 c 2

Noskaidrosim apjomu attiecību.

V 1 / V 2 \u003d (a 1 b 1 c 1) / (a ​​2 b 2 c 2)

Pārveidosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā pirmās un otrās prizmas mērījumu attiecību.

Pēc nosacījuma c 1 \u003d 1,5 c 2 (pirmā kaste ir pusotru reizi augstāka par otro), b 2 \u003d 3 b 1 (otrais lodziņš ir trīs reizes platāks nekā pirmais).

Tā kā šīs ir regulāras četrstūra prizmas, pamatne ir kvadrāts, kas nozīmē, ka arī otrās kastes dziļums ir trīs reizes lielāks par pirmās, tas ir, a 2 = 3 a 1

Aizvietojiet šīs izteiksmes tilpuma attiecības formulā:

V 1 / V 2 \u003d (a 1 b 1 c 1) / (a ​​2 b 2 c 2) \u003d (a 1 b 1 1,5 c 2) / (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 1,5 c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

Samazināsim iegūto daļu par a 1 · b 1 · c 2 . Mēs iegūstam:

V 1 / V 2 \u003d (a 1 b 1 1,5 c 2) / (9a 1 b 1 c 2) \u003d 1,5 / 9 \u003d 15 / (10 9) \u003d 3 / (2 9 ) = 1/ ( 2 3) = 1/6.

Pirmās kastes tilpums ir 6 reizes mazāks nekā otrās.

Atbilde: 6.

Opcija 13MB4

Visas tās galotnes tika nozāģētas no koka kuba (skat. att.). Cik skaldņu ir iegūtajam daudzskaldnim (neredzamās malas attēlā nav parādītas)?

Vispirms atcerēsimies, cik skaldņu un virsotņu ir kubam: sešas skaldnes un astoņas virsotnes. Tagad katras virsotnes vietā pēc nozāģēšanas tiek izveidota jauna seja, kas nozīmē, ka uzdevumā modificētajam kubam ir sešas sākotnējās skaldnes un astoņas jaunas (pēc nozāģēšanas). Kopā mēs iegūstam: 6 + 8 = 14 sejas.

Ja mums jautātu, cik virsotņu ir jaunajam "kubam". Acīmredzot, ja viena vietā ir trīs, un no tiem ir tikai astoņi, tad mēs iegūstam: 8 3 \u003d 24

Opcija 13MB5

Doti divi cilindri. Pirmā cilindra pamatnes rādiuss un augstums ir attiecīgi 2 un 6, bet otrā - 6 un 4. Cik reizes otrā cilindra tilpums ir lielāks par pirmā cilindra tilpumu?

Izpildes algoritms

1. Mēs pierakstām f-lu, lai aprēķinātu cilindra tilpumu.
2. Mēs ieviešam apzīmējumu pamatnes rādiusam un 1. cilindra augstumam. Līdzīgi izsakām 2. cilindra parametrus.
3. Mēs veidojam formulas 1. un 2. cilindra tilpumam.
4. Mēs aprēķinām apjomu attiecību.

Risinājums:

Cilindra tilpums ir: V=πR 2 H. Apzīmēsim 1. cilindra pamatnes rādiusu caur R 1, bet augstumu - caur H 1. Attiecīgi otrā cilindra pamatnes rādiuss tiks apzīmēts ar R 2, bet augstums - ar H 2.

No šejienes mēs iegūstam: V 1 =πR 1 2 H1, V 2 =πR 2 2 H2.

Mēs rakstām vēlamo tilpumu attiecību:

.

Mēs aizstājam skaitliskos datus iegūtajā koeficientā:

.

Secinājums: 2. cilindra tilpums ir 6 reizes lielāks par 1. cilindra tilpumu.

Opcija 13MB6

Tvertnē ar taisnas prizmas formu ielej 5 litrus ūdens. Pēc tam, kad daļa bija pilnībā iegremdēta ūdenī, ūdens līmenis tvertnē pacēlās 1,4 reizes. Atrodiet daļas tilpumu. Sniedziet atbildi kubikcentimetros, zinot, ka vienā litrā ir 1000 kubikcentimetru.

Izpildes algoritms

1. Mēs ieviešam apzīmējumu tilpumam pirms un pēc daļas iegremdēšanas. Lai tas notiek atbilstoši V 1 un V 2.
2. Mēs labojam vērtību V 1. Mēs izsakām V 2 cauri V 1. Vērtības atrašana V 2.
3. Litros iegūto rezultātu tulkojam kubikcentimetros.

Risinājums:

Tvertnes tilpums pirms niršanas V 1=5 (l). Jo pēc tam, kad daļa tika iegremdēta, tilpums kļuva vienāds V 2. Atbilstoši nosacījumam pieaugums bija 1,4 reizes, tātad V 2=1,4V 1.

No šejienes mēs iegūstam: V 2\u003d 1,4 5 \u003d 7 (l).

Tādējādi tilpumu starpība, kas veido daļas tilpumu, ir vienāda ar:

V 2-V 1=7–5=2 (l).

2 l \u003d 2 1000 \u003d 2000 (cc).

Opcija 13MB7

Ūdens cilindriskā traukā ir līmenī h=80 cm.Kādā līmenī ūdens būs, ja to ielej citā cilindriskā traukā, kura pamatnes rādiuss ir divas reizes lielāks par pirmo? Sniedziet atbildi centimetros.

Izpildes algoritms

1. Mēs pierakstām f-lu, lai aprēķinātu cilindra tilpumu.
2. Pamatojoties uz šo formulu, mēs pierakstām 2 vienādojumus - lai aprēķinātu ūdens tilpumu 1. un 2. traukā. Lai to izdarītu, formulā izmantojam atbilstošos indeksus 1 un 2.
3. Tā kā ūdeni vienkārši ielej no viena trauka otrā, tā tilpums nemainās. Tāpēc mēs pielīdzinām iegūtos vienādojumus. No iegūtā vienotā vienādojuma mēs atrodam ūdens līmeni 2. traukā, kas izteikts ar augstumu h2.

Risinājums:

Cilindra tilpums ir: V=S galvenais h=πR 2 h.

Ūdens tilpums pirmajā traukā: V 1 \u003d πR 1 2 h 1.

Tilpums 2. traukā: V 2 \u003d πR 2 2 h 2.

Pielīdzināt V 1 un V 2: πR 1 2 h 1 = πR 2 2 h 2.

Mēs samazinām par π, izsakām h2:

.

Pēc nosacījuma R2=2R1. No šejienes:

Opcija 13MB8

Visas tās virsotnes tika nozāģētas no koka regulāras trīsstūrveida prizmas (skat. att.). Cik virsotņu ir iegūtajam daudzskaldnim (neredzamās malas attēlā nav parādītas)?

Izpildes algoritms

1. Nosakiet virsotņu skaitu trīsstūrveida prizmai.
2. Mēs analizējam izmaiņas, kas notiks, nozāģējot visas virsotnes. Mēs saskaitām jaunā daudzskaldņa virsotnes.

Risinājums:

Prizmas virsotnes veido pamatu virsotnes (augšējo un apakšējo). Tā kā regulāras trīsstūra prizmas pamatnes ir regulāri trīsstūri, tad šādai prizmai ir 3 2=6 virsotnes.

Nogriežot prizmas virsotnes, to vietā iegūstam mazus (salīdzinot ar pašas prizmas izmēru) trīsstūrus. Tas ir parādīts arī attēlā. Tas ir, katras virsotnes vietā tiek veidotas 3 jaunas. Līdz ar to to skaits kļūs vienāds: 6·3=18.

Opcija 13MB9

Dotas divas kastes, kurām ir regulāras četrstūra prizmas forma, kas stāv uz pamatnes. Pirmā kaste ir četrarpus reizes zemāka par otro, bet otrā ir šaurāka par pirmo. Cik reizes lielāks ir pirmās kastes tilpums nekā otrās?

Izpildes algoritms

1. Ieviešam kastu lineāro parametru un to tilpumu apzīmējumus.
2. Nosakām lineāro parametru atkarību atbilstoši nosacījumam.
3. Mēs pierakstām prizmas tilpuma aprēķināšanas formulu.
4. Mēs pielāgojam šo formulu kastu tilpumiem.
5. Mēs atrodam apjomu attiecību.

Risinājums:

Jo kastu forma ir regulāra prizma, tad to pamatā ir kvadrāti. Tāpēc mēs varam norādīt katras kastes garumu un platumu tādā pašā veidā. Ļaujiet pirmajai kastei šo a 1, un par otro a 2. Kastīšu augstumi tiks attiecīgi apzīmēti h1 un h2. Sējumi - V 1 un V 2.

Saskaņā ar nosacījumu h2=4,5h1, a 1=3a 2.

Prizmas tilpums ir: V=S galvenais h. Jo kastu pamatnē ir kvadrāts, tad S galvenais \u003d a 2. No šejienes: V=a 2 h.

1. kastei mums ir: V 1 \u003d a 1 2 h 1. 2. kastei: V 2 \u003d a 2 2 h 2.

Tad mēs iegūstam attiecību:

Opcija 13MB10

Konusa formas traukā šķidruma līmenis sasniedz ½ no augstuma. Trauka tilpums ir 1600 ml. Kāds ir izlietā šķidruma tilpums? Sniedziet atbildi mililitros.

Izpildes algoritms

1. Mēs pierādam, ka dati konusa stāvoklī ir līdzīgi.
2. Nosakām līdzības koeficientu.
3. Izmantojot īpašību līdzīgu ķermeņu tilpumiem, mēs atrodam šķidruma tilpumu.

Risinājums:

Ja ņemam vērā konusa griezumu gar tā divām pretējām ģenerātrijām (aksiālo griezumu), tad redzam, ka šādā veidā iegūtā lielā konusa un mazā (ko veido šķidrums) trīsstūri ir līdzīgi. Tas izriet no to leņķu vienlīdzības. Tie. mums ir: konusi ir līdzīgi augstumiem un pamatnes rādiusiem. No tā mēs secinām: tāpēc, ka konusu lineārie parametri ir līdzīgi, tad konusi ir līdzīgi.

Pēc nosacījuma neliela konusa (šķidruma) augstums ir ½ no konusa augstuma. Tādējādi mazo un lielo konusu līdzības koeficients ir vienāds ar ½.

Mēs izmantojam ķermeņu līdzības īpašību, kas sastāv no tā, ka to tilpumi ir saistīti kā līdzības koeficients kubā. Apzīmē lielā konusa tilpumu V 1, mazs - V 2. Mēs iegūstam:

.

Kopš nosacījuma V 1=1600 ml, tad V 2=1600/8=200 ml.

Opcija 13MB11

Dotas divas bumbiņas ar rādiusiem 4 un 1. Cik reižu lielākās lodītes tilpums ir lielāks par mazākās?

Izpildes algoritms

1. Pierakstiet sfēras tilpuma aprēķināšanas formulu.
2. Formulu pielāgojam katrai no bumbiņām. Šim nolūkam mēs izmantojam indeksus 1 un 2.
3. Mēs pierakstām tilpumu attiecību, aprēķinām to, aizstājot skaitliskos datus no nosacījuma.

Risinājums:

Bumbiņas tilpumu aprēķina no f-le: .

Tādējādi pirmās (lielākās) bumbiņas tilpums ir vienāds ar , 2. (mazāka) bumbiņa - .

Izveidosim tilpumu attiecību:

No nosacījuma skaitliskos datus aizstājam iegūtajā formulā:

Secinājums: lielākās bumbiņas tilpums ir 64 reizes lielāks.

Opcija 13MB12

Doti divi cilindri. Pirmā cilindra pamatnes rādiuss un augstums ir attiecīgi 4 un 18, bet otrā - 2 un 3. Cik reižu pirmā cilindra sānu virsmas laukums ir lielāks par otrā sānu virsma?

Izpildes algoritms

1. Mēs pierakstām formulu cilindra sānu virsmas laukuma noteikšanai.
2. Mēs to pārrakstām divas reizes, izmantojot atbilstošos indeksus - 1. (lielākam) un 2. (mazākam) cilindram.
3. Laukuma attiecības atrašana. Mēs aprēķinām attiecības, izmantojot skaitliskos datus no nosacījuma.

Risinājums:

Cilindra sānu virsmas laukumu aprēķina šādi: S=2πRH.

1. cilindram mums ir: S1=2π R 1 H 1. 2. cilindram: S2=2π R2H2.

Aprēķināsim šo laukumu attiecību:

Atradīsim iegūtās attiecības skaitlisko vērtību:

Secinājums: 1. cilindra sānu virsmas laukums ir 12 reizes lielāks.

Opcija 13MB13

Vienveidīga bumbiņa ar diametru 3 cm sver 162 gramus. Cik gramus sver 2 cm diametra bumbiņa, kas izgatavota no tāda paša materiāla?

Izpildes algoritms

1. Mēs pierakstām formulu lielāku bumbiņu masas noteikšanai pēc blīvuma un tilpuma.
2. Šajā formulā tilpums ir rakstīts kā lodītes tilpuma funkcija (caur tās rādiusu).
3. Mēs pierakstām f-lu mazākās lodītes masai, krāsojam tilpumu caur rādiusu (pēc analoģijas ar 1. un 2. punktu).
4. Tā kā abas bumbiņas ir izgatavotas no viena materiāla, mēs varam izmantot atrasto blīvuma vērtību mazākās lodītes masas formulā. Mēs aprēķinām vēlamo masu.

Risinājums:

Lielākās (1.) bumbiņas masa ir: m 1 =ρ V 1. Šīs sfēras apjoms ir V 1 = Šķidrumu ielej tvertnē, kuras forma ir regulāra četrstūra prizma ar pamatnes malu, kas vienāda ar 40 cm. Lai izmērītu sarežģītas formas daļas tilpumu, tā ir pilnībā iegremdēta šajā šķidrumā. Atrodiet detaļas tilpumu, ja pēc tās iegremdēšanas šķidruma līmenis tvertnē ir paaugstinājies par 10 cm Atbildi sniedziet kubikcentimetros.

Izpildes algoritms

1. Mēs nosakām prizmas daļu, kas atbilst iegremdētās daļas tilpumam.
2. Mēs aprēķinām daļas tilpumu, pamatojoties uz formulu taisnas prizmas tilpuma noteikšanai ar kvadrātu pie pamatnes.

Risinājums:

Šķidrumā iegremdēta daļa aizņem tilpumu, kas atbilst šķidruma kolonnai, kuras augstums ir 10 cm, t.i. starpība, kas radusies starp šķidruma sākotnējo augstumu un galīgo (pēc iegremdēšanas). Tas nozīmē, ka daļas tilpums ir vienāds ar šķidruma daļu, kas aizņem 40x40x10 (cm) tilpumu.

Atradīsim šo sējumu.

Vingrinājums:

Regulārā četrstūra prizmā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 uz malas СС 1 tiek ņemts punkts K tā, lai SC: KS 1 = 1: 2.

a) Izveidojiet prizmas griezumu ar plakni, kas iet caur punktiem D un K paralēli pamatnes AC diagonālei.

b) Atrodi leņķi starp griezuma plakni un pamatplakni, ja CC 1 = 4,5√ 2, AB = 3.

Risinājums:

a) Tā kā prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir regulāra, tad ABCD ir kvadrāts un sānu skaldnes ir vienādi taisnstūri.

Konstruēsim prizmas posmu ar plakni, kas iet caur punktiem D un K paralēli AC. Griezuma plaknes un plaknes AA 1 C 1 krustošanās līnija iet caur punktu K un ir paralēla AC.

Plaknē ACC 1 caur punktu K novelkam nogriezni KF paralēli diagonālei AC.

Tā kā prizmas skaldnes A 1 ADD 1 un B 1 BCC 1 ir paralēlas, tad pēc paralēlo plakņu īpašības griezuma plaknes un šo skaldņu krustošanās taisnes ir paralēlas. Iztērēsim PK || FD. Četrstūris FPKD ir vajadzīgā sadaļa.

b) Atrodiet leņķi starp griezuma plakni un pamatplakni. Ļaujiet griezuma plaknei krustot pamatplakni pa kādu taisni p, kas iet caur punktu D. AC || FK, tātad AC || p (ja plakne iet caur taisni paralēli citai plaknei un šķērso šo plakni, tad plakņu krustošanās līnija ir paralēla šai taisnei). Tā kā kvadrāta diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras, tad BD ⊥ AC, un līdz ar to
BD ⊥ lpp. BD ir PD projekcija plaknē ABC, tātad PD ⊥ p pēc trīs perpendikulu teorēmas. Tāpēc ∠PDB ir divskaldņa leņķa lineārais leņķis starp griezuma plakni un pamatplakni.

FK || p, tātad FK ⊥ PD. Četrstūrī FPKD mums ir FD || PK un KD || FP, tātad FPKD ir paralelograms, un tā kā taisnleņķa trijstūri FAD un KCD ir vienādi divās kājās (AD = DC kā kvadrāta malas, FA = KC kā attālumi starp paralēlām taisnēm AC un F K), tad FPKD ir rombs. Tādējādi PD = 2OD.

Pēc nosacījuma CK: KC 1 = 1: 2, tad KC = 1/3*CC 1 = 4,5√2 / 3 = 1,5√2.

In Δ DKC pēc Pitagora teorēmas KD 2 = DC 2 + KC 2 , KD = =
√13,5.

AC = 3√2 kā kvadrāta diagonāle, OK = EC = 1/2*AC, OK = 1,5√2.

In Δ KOD saskaņā ar Pitagora teorēmu OD 2 = KD 2 − OK 2 ,

OD= = 3. PD = 2OD = 6.

AT taisnleņķa trīsstūris PBP cos ∠PBP = BD/PD = 3√2/6 = √2/2, tātad ∠PBP = 45◦.

Atbilde: 45◦.

Ko es atradu DataGenetics vietnē. Visas kļūdas šajā rakstā lūdzu sūtīt privātās ziņās.

Šajā problēmā cietumā ir 100 ieslodzītie, katrs no 1 līdz 100. Cietuma uzraugs nolemj dot ieslodzītajiem iespēju tikt atbrīvots, viņš pastāsta viņiem pārbaudes nosacījumus un, ja visi ieslodzītie izturēs pārbaudi, tad viņi tiks atbrīvoti. Ja vismaz viens no viņiem neizturēs pārbaudi, visi ieslodzītie mirs.

Uzdevums

Cietuma sargs dodas uz slepeno istabu un sagatavo 100 kastes ar vākiem. Uz katras kastītes viņš atzīmē skaitļus no 1 līdz 100. Pēc tam viņš atnes 100 papīra tabletes atbilstoši ieslodzīto skaitam un numurē šīs tabletes no 1 līdz 100. Pēc tam viņš sajauc 100 tabletes un katrā kastē ievieto vienu tableti. aizverot vāku. Ieslodzītie neredz, kā cietuma sargs veic visas šīs darbības.

Sākas sacensības, cietuma uzraugs katru ieslodzīto pa vienam ved uz istabu ar kastēm un saka ieslodzītajiem, ka jāatrod kaste, kurā būs zīme ar ieslodzītā numuru. Ieslodzītie mēģina atrast plāksni ar savu numuru, atverot kastes. Katrai atļauts atvērt līdz 50 kastēm; ja katrs no ieslodzītajiem atradīs savu numuru, tad ieslodzītie tiks atbrīvoti, ja kaut viens no viņiem 50 mēģinājumos neatradīs savu numuru, tad visi ieslodzītie mirs.

Lai ieslodzītie tiktu atbrīvoti, VISIEM ieslodzītajiem ir sekmīgi jānokārto pārbaudījums.

Tātad, kāda ir iespēja, ka ieslodzītie tiks apžēloti?

• Pēc tam, kad ieslodzītais atver kasti un pārbauda plāksni, to ievieto atpakaļ kastē un atkal aizver vāku;
• Plākšņu vietas nevar mainīt;
• Ieslodzītie nevar atstāt viens otram norādes vai nekādā veidā mijiedarboties viens ar otru, kad tiesa ir sākusies;
• Ieslodzītajiem ir atļauts apspriest stratēģiju pirms tiesas sākuma.

Kāda ir labākā stratēģija ieslodzītajiem?

Papildus jautājums:

Ja ieslodzīto draugs (nav pārbaudes dalībnieks) varēs iekļūt slepenajā telpā pirms pārbaudes sākuma, pārbaudiet visas tabletes visās kastēs un (pēc izvēles, bet ne obligāti) nomainiet divas tabletes no divām kastēm. (šajā gadījumā biedram nebūs iespējas gan informēt ieslodzītos par savas rīcības rezultātu),tad kāda stratēģija viņam jāpieņem,lai palielinātu ieslodzīto izredzes izbēgt?

Risinājums neticams?

No pirmā acu uzmetiena šis uzdevums šķiet gandrīz bezcerīgs. Šķiet, ka iespēja katram no ieslodzītajiem atrast savu planšeti ir mikroskopiski maza. Turklāt tiesas procesa laikā ieslodzītie savā starpā nevar apmainīties ar informāciju.

Viena ieslodzītā izredzes ir 50:50. Kopā ir 100 kastes, un viņš var atvērt līdz 50 kastēm, meklējot savu zīmi. Ja viņš kastes atver nejauši un atver pusi no visām kastēm, viņš savu planšetdatoru atradīs atvērtajā kastīšu pusē vai arī planšetdators paliks slēgtajās 50 kastītēs. Viņa izredzes gūt panākumus ir ½.

Paņemsim divus gūstekņus. Ja abi izvēlas lodziņus pēc nejaušības principa, iespēja katram no tiem būs ½, bet diviem ½x½=¼.
(diviem ieslodzītajiem veiksme būs vienā gadījumā no četriem).

Trīs ieslodzītajiem izredzes ir ½ × ½ × ½ = ⅛.

100 ieslodzītajiem izredzes ir: ½ × ½ × … ½ × ½ (reizināt ar 100 reizēm).

Tas ir vienāds

Pr ≈ 0,0000000000000000000000000000008

Tāpēc tā ir ļoti maza iespēja. Šajā scenārijā, visticamāk, visi ieslodzītie būs miruši.

Neticama atbilde

Ja katrs ieslodzītais kastes atver nejauši, visticamāk, ka viņi neizturēs pārbaudi. Pastāv stratēģija, saskaņā ar kuru ieslodzītie var cerēt uz panākumiem vairāk nekā 30% gadījumu. Tas ir satriecoši neticams rezultāts (ja jūs iepriekš neesat dzirdējis par šo matemātikas problēmu).

Vairāk kā 30% uz visiem 100 ieslodzītajiem! Jā, tas ir pat vairāk nekā iespēja diviem ieslodzītajiem, ja viņi kastes atver nejauši. Bet kā tas ir iespējams?

Skaidrs, ka katram ieslodzītajam pa vienam, izredzes nevar būt lielākas par 50% (galu galā ieslodzīto savstarpējai komunikācijai nav iespējas). Bet neaizmirstiet, ka informācija tiek glabāta plākšņu atrašanās vietā kastīšu iekšpusē. Neviens nejauc tabletes starp atsevišķu ieslodzīto apmeklējumiem istabā, tāpēc mēs varam izmantot šo informāciju.

Risinājums

Vispirms es jums pastāstīšu risinājumu, pēc tam paskaidrošu, kāpēc tas darbojas.

Stratēģija ir ļoti vienkārša. Pirmais no ieslodzītajiem atver kasti ar numuru, kas rakstīts uz viņa drēbēm. Piemēram, ieslodzītais ar numuru 78 atver kasti ar numuru 78. Ja viņš atrod savu numuru uz plāksnītes kastes iekšpusē, tas ir lieliski! Ja nē, viņš apskata numuru uz plāksnes "savā" lodziņā un pēc tam atver nākamo lodziņu ar šo numuru. Atvēris otro lodziņu, viņš skatās uz planšetdatora numuru šajā lodziņā un atver trešo lodziņu ar šo numuru. Tad mēs vienkārši pārnesam šo stratēģiju uz atlikušajām kastēm. Skaidrības labad apskatiet attēlu:

Galu galā ieslodzītais vai nu atradīs savu numuru, vai sasniegs 50 kastīšu ierobežojumu. No pirmā acu uzmetiena tas izskatās bezjēdzīgi, salīdzinot ar vienkāršu kastes izvēli nejauši (un vienam ieslodzītajam tas notiek), taču, tā kā visi 100 ieslodzītie izmantos vienu un to pašu kastu komplektu, tas ir loģiski.

Šīs matemātiskās problēmas skaistums ir ne tikai zināt rezultātu, bet arī saprast kāpēcšī stratēģija darbojas.

Tātad, kāpēc stratēģija darbojas?

Katrā kastē ir viena plāksne – un šī plāksne ir unikāla. Tas nozīmē, ka plāksne atrodas kastē ar tādu pašu numuru vai norāda uz citu kastīti. Tā kā visas plāksnes ir unikālas, katrai kastītei ir tikai viena plāksne, kas norāda uz to (un tikai viens veids, kā nokļūt līdz šai kastei).

Ja tā padomā, kastes veido slēgtu apļveida ķēdi. Viens lodziņš var būt tikai vienas ķēdes daļa, jo lodziņā ir tikai viens rādītājs uz nākamo, un attiecīgi iepriekšējā lodziņā ir tikai viens rādītājs uz šo lodziņu (programmētāji var redzēt analoģiju ar saistītajiem sarakstiem).

Ja kaste nenorāda uz sevi (kastes numurs ir vienāds ar tajā esošās plāksnes numuru), tad tā būs ķēdē. Dažas ķēdes var sastāvēt no divām kastēm, dažas ir garākas.

Tā kā visi ieslodzītie sākas ar kastīti ar vienādu numuru uz drēbēm, viņi pēc definīcijas tiek novietoti uz ķēdes, kurā ir viņu datu plāksnīte (ir tikai viena datu plāksnīte, kas norāda uz šo kastīti).

Izpētot kastes gar šo ķēdi pa apli, viņi noteikti atradīs savu zīmi.

Vienīgais jautājums paliek, vai viņi atradīs savu planšetdatoru 50 gājienos.

Ķēdes garums

Lai visi ieslodzītie izturētu pārbaudi, maksimālajam ķēdes garumam jābūt mazākam par 50 kastēm. Ja ķēde ir garāka par 50 kastēm, ieslodzītie ar numuriem no šīm ķēdēm neizturēs pārbaudi — un visi ieslodzītie būs miruši.

Ja garākās ķēdes maksimālais garums ir mazāks par 50 kastēm, tad visi ieslodzītie izturēs pārbaudi!

Padomājiet par šo brīdi. Izrādās, ka jebkurā plākšņu izkārtojumā var būt tikai viena ķēde, kas ir garāka par 50 kastēm (mums ir tikai 100 kastes, tātad, ja viena ķēde ir garāka par 50, tad pārējās kopā būs īsākas par 50).

Garās ķēdes roku izredzes

Kad esat pārliecinājies, ka maksimālajam ķēdes garumam ir jābūt mazākam vai vienādam ar 50, lai gūtu panākumus, un jebkurā komplektā var būt tikai viena gara ķēde, mēs varam aprēķināt izaicinājuma izturēšanas varbūtību:

Vēl mazliet matemātikas

Tātad, kas mums ir nepieciešams, lai noskaidrotu garas ķēdes varbūtību?

Ķēdei ar garumu l varbūtība, ka kastes atradīsies ārpus šīs ķēdes, ir:

Šajā skaitļu krājumā ir (l-1)! veidi, kā sakārtot zīmes.

Pārējās zīmes var atrast (100-l)! veidi (neaizmirstiet, ka ķēdes garums nepārsniedz 50).

Ņemot to vērā, permutāciju skaits, kas satur virkni ar precīzu l garumu, ir: (>50)

Izrādās, ka ir 100(!) veidi, kā sakārtot plāksnes tā, lai ķēdes ar garumu l pastāvēšanas varbūtība būtu vienāda ar 1/l. Starp citu, šis rezultāts nav atkarīgs no kastīšu skaita.

Kā mēs jau zinām, var būt tikai viens gadījums, kad ir ķēde ar garumu > 50, tāpēc veiksmes varbūtību aprēķina pēc šādas formulas:

Rezultāts

31,18% - iespējamība, ka garākās ķēdes izmērs būs mazāks par 50 un katrs no ieslodzītajiem spēs atrast savu planšeti, ņemot vērā 50 mēģinājumu limitu.

Varbūtība, ka visi ieslodzītie atradīs savas plāksnes un izturēs pārbaudi, ir 31,18%.

Zemāk ir diagramma, kas parāda varbūtības (uz y ass) visām ķēdēm, kuru garums ir l (uz x ass). Sarkanā krāsa nozīmē visas "neveiksmes" (šeit dotā līkne ir tikai 1/l diagramma). Zaļā krāsa nozīmē "veiksmi" (šajā diagrammas daļā aprēķins ir nedaudz sarežģītāks, jo ir vairāki veidi, kā noteikt maksimālo garumu<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Harmoniskais skaitlis (šī raksta daļa ir paredzēta dīķiem)

Matemātikā n-tais harmoniskais skaitlis ir naturālās rindas pirmo n secīgo skaitļu apgriezto vērtību summa.

Aprēķināsim limitu, ja 100a kastu vietā mums ir patvaļīgi liels kastīšu skaits (pieņemsim, ka mums kopā ir 2n kastes).

Eilera-Mašeroni konstante ir konstante, kas definēta kā robeža starpības robežai starp harmoniskās sērijas daļējo summu un skaitļa naturālo logaritmu.

Palielinoties ieslodzīto skaitam, ja pārraugs ļauj ieslodzītajiem atvērt pusi no visām kastēm, tad iespēja izglābties ir 30,685%.

(Ja esat pieņēmis lēmumu, kurā ieslodzītie nejauši uzmin rūtiņas, tad, palielinoties ieslodzīto skaitam, iespēja tikt izglābtam tiecas uz nulli!)

Papildus jautājums

Vai kāds vēl atceras papildu jautājumu? Ko mūsu izpalīdzīgais biedrs var darīt, lai palielinātu mūsu izredzes izdzīvot?

Tagad mēs jau zinām risinājumu, tāpēc stratēģija šeit ir vienkārša: viņam jāpārbauda visas zīmes un jāatrod garākā kastu ķēde. Ja garākā ķēde ir mazāka par 50, tad viņam tabletes nav jāmaina vispār vai jāmaina tā, lai garākā ķēde nekļūtu garāka par 50. Tomēr, ja viņš atrod ķēdi, kas garāka par 50 kastēm, viņam atliek tikai apmainīt divu kastīšu saturu no šīs ķēdes, lai ķēde sadalītu divās īsākās ķēdēs.

Šīs stratēģijas rezultātā nebūs garu ķēžu, un visi ieslodzītie tiks garantēti, lai atrastu savu zīmi un pestīšanu. Tātad, samainot divas zīmes, mēs samazinām pestīšanas iespējamību līdz 100%!