Mainīgo ar vienādām pilnvarām pievienošana. Atņemšanas un saskaitīšanas noteikumi

Ja nepieciešams palielināt noteiktu skaitli līdz pakāpei, varat izmantot . Tagad mēs to aplūkosim tuvāk spēku īpašības.

Eksponenciālie skaitļi paver lielas iespējas, tās ļauj pārvērst reizināšanu saskaitīšanā, turklāt saskaitīšana ir daudz vienkāršāka nekā reizināšana.

Piemēram, mums ir jāreizina 16 ar 64. Šo divu skaitļu reizinājums ir 1024. Bet 16 ir 4x4 un 64 ir 4x4x4. Tātad 16 reizes 64 = 4x4x4x4x4, kas arī ir 1024.

Skaitli 16 var attēlot arī kā 2x2x2x2 un 64 kā 2x2x2x2x2x2, un, reizinot, mēs atkal iegūstam 1024.

Tagad izmantosim noteikumu. 16 = 4 2 vai 2 4 , 64 = 4 3 vai 2 6 , savukārt 1024 = 6 4 = 4 5 vai 2 10 .

Tāpēc mūsu problēmu var uzrakstīt citā veidā: 4 2 x4 3 =4 5 vai 2 4 x2 6 =2 10, un katru reizi mēs iegūstam 1024.

Mēs varam atrisināt vairākus līdzīgus piemērus un redzēt, ka skaitļu reizināšana ar pakāpēm samazinās līdz eksponentu pievienošana, vai eksponents, protams, ar nosacījumu, ka faktoru bāzes ir vienādas.

Tādējādi mēs varam, nereizinot, uzreiz teikt, ka 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Šis noteikums ir spēkā arī dalot skaitļus ar pakāpēm, taču šajā gadījumā piem dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta. Tādējādi 2 5:2 3 =2 2 , kas parastajos skaitļos ir vienāds ar 32:8=4, tas ir, 2 2 . Apkoposim:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kur m un n ir veseli skaitļi.

No pirmā acu uzmetiena tā varētu šķist skaitļu reizināšana un dalīšana ar pakāpēm nav ļoti ērti, jo vispirms skaitlis ir jāattēlo eksponenciālā formā. Nav grūti attēlot skaitļus 8 un 16 šādā formā, tas ir, 2 3 un 2 4, bet kā to izdarīt ar skaitļiem 7 un 17? Vai arī ko darīt tajos gadījumos, kad skaitli var attēlot eksponenciālā formā, bet skaitļu eksponenciālo izteiksmju pamati ir ļoti atšķirīgi. Piemēram, 8×9 ir 2 3 x 3 2 , un tādā gadījumā mēs nevaram summēt eksponentus. Ne 2 5, ne 3 5 nav atbilde, ne arī atbilde starp abiem.

Vai tad vispār ir vērts mocīties ar šo metodi? Noteikti ir tā vērts. Tas sniedz milzīgas priekšrocības, īpaši sarežģītiem un laikietilpīgiem aprēķiniem.

Nodarbība par tēmu: "Noteikumi pakāpju reizināšanai un dalīšanai ar vienādiem un dažādiem eksponentiem. Piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 7. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Yu.N. Makarycheva rokasgrāmata mācību grāmatai A.G. Mordkovičs

Nodarbības mērķis: iemācīties veikt darbības ar skaitļa pakāpēm.

Sākumā atcerēsimies jēdzienu "skaitļa spēks". Izteiksmi, piemēram, $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$, var attēlot kā $a^n$.

Ir arī otrādi: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Šo vienlīdzību sauc par "grāda reģistrēšanu kā produktu". Tas mums palīdzēs noteikt, kā reizināt un sadalīt spēkus.
Atcerieties:
a- grāda bāze.
n- eksponents.
Ja n=1, kas nozīmē skaitli aņemts vienreiz un attiecīgi: $a^n= a$.
Ja n=0, tad $a^0= 1$.

Kāpēc tas notiek, to varēsim uzzināt, iepazīstoties ar pilnvaru reizināšanas un dalīšanas noteikumiem.

reizināšanas noteikumi

Piemērs.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Šo īpašību ir ērti izmantot, lai vienkāršotu darbu, palielinot skaitli līdz lielai jaudai.
Piemērs.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ja pakāpes reizina ar citu bāzi, bet vienu un to pašu eksponentu.
$a^n * b^n$ mēs rakstām pakāpes kā reizinājumu: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Ja mēs samainām faktorus un saskaitām iegūtos pārus, mēs iegūstam: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Tātad $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Piemērs.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

sadalīšanas noteikumi

Tātad, tas ir nepieciešams $\frac(a^n)(a^m)$, kur n>m.

Mēs rakstām grādus kā daļu:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Tagad samazināsim daļu.

Izrādās: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
nozīmē, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Šis īpašums palīdzēs izskaidrot situāciju ar skaitļa paaugstināšanu līdz nulles pakāpei. Pieņemsim, ka n=m, tad $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Piemēri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Pakāpju bāzes ir dažādas, rādītāji ir vienādi.
Pieņemsim, ka jums ir nepieciešams $\frac(a^n)(b^n)$. Mēs rakstām skaitļu pakāpes kā daļskaitli:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Piemērs.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Jēdziens grāds matemātikā tiek ieviests jau 7. klasē algebras stundā. Un nākotnē visā matemātikas studiju laikā šis jēdziens tiek aktīvi izmantots tā dažādās formās. Grādi ir diezgan grūts temats, kas prasa vērtību iegaumēšanu un spēju pareizi un ātri skaitīt. Lai ātrāk un labāk strādātu ar matemātikas grādiem, viņi izdomāja grāda īpašības. Tie palīdz samazināt lielus aprēķinus, zināmā mērā pārvērst milzīgu piemēru vienā skaitļā. Īpašību nav tik daudz, un tās visas ir viegli atcerēties un pielietot praksē. Tāpēc rakstā aplūkotas galvenās grāda īpašības, kā arī to pielietošanas vieta.

pakāpes īpašības

Apskatīsim 12 pakāpes īpašības, ieskaitot pakāpju īpašības ar vienādu bāzi, un sniegsim piemēru katram īpašumam. Katrs no šiem īpašumiem palīdzēs ātrāk atrisināt problēmas ar grādiem, kā arī pasargās jūs no daudzām skaitļošanas kļūdām.

1. īpašums.

Daudzi cilvēki ļoti bieži aizmirst par šo īpašību, pieļauj kļūdas, attēlojot skaitli līdz nulles grādiem kā nulli.

2. īpašums.

3. īpašums.

Jāatceras, ka šo īpašību var izmantot tikai skaitļus reizinot, ar summu tas nedarbojas! Un mēs nedrīkstam aizmirst, ka šīs un turpmākās īpašības attiecas tikai uz pilnvarām ar tādu pašu bāzi.

4. īpašums.

Ja skaitlis saucējā tiek palielināts līdz negatīvam pakāpēm, tad, atņemot, saucēja pakāpe tiek ņemta iekavās, lai turpmākajos aprēķinos pareizi aizstātu zīmi.

Īpašums darbojas tikai dalot, nevis atņemot!

5. īpašums.

6. īpašums.

Šo īpašību var izmantot arī apgrieztā veidā. Vienība, kas zināmā mērā dalīta ar skaitli, ir šis skaitlis ar negatīvu pakāpju.

7. īpašums.

Šo īpašumu nevar attiecināt uz summu un starpību! Palielinot summu vai starpību līdz pakāpei, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas, nevis pakāpes īpašības.

8. īpašums.

9. īpašums.

Šī īpašība darbojas jebkurai daļējai pakāpei ar skaitītāju, kas vienāds ar vienu, formula būs tāda pati, tikai saknes pakāpe mainīsies atkarībā no pakāpes saucēja.

Arī šis īpašums bieži tiek izmantots apgrieztā secībā. Jebkura skaitļa pakāpes sakni var attēlot kā šo skaitli ar pakāpju, kas dalīts ar saknes pakāpi. Šis īpašums ir ļoti noderīgs gadījumos, kad skaitļa sakne nav iegūta.

10. īpašums.

Šis īpašums darbojas ne tikai ar kvadrātsakne un otrā pakāpe. Ja saknes pakāpe un pakāpe, kādā šī sakne ir pacelta, ir vienāda, tad atbilde būs radikāla izteiksme.

11. īpašums.

Šo īpašumu risinot ir jāspēj laicīgi ieraudzīt, lai paglābtos no milzīgiem aprēķiniem.

12. īpašums.

Katrs no šiem rekvizītiem tiksies vairāk nekā vienu reizi uzdevumos, to var dot tīrā veidā, vai arī tas var prasīt dažas transformācijas un citu formulu izmantošanu. Tāpēc pareizam risinājumam nepietiek tikai ar īpašību pārzināšanu, ir jāpraktizē un jāsavieno pārējās matemātiskās zināšanas.

Pakāpju pielietojums un to īpašības

Tos aktīvi izmanto algebrā un ģeometrijā. Atsevišķa, svarīga vieta ir matemātikas grādiem. Ar to palīdzību tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, kā arī pilnvaras bieži sarežģī vienādojumus un piemērus, kas saistīti ar citām matemātikas sadaļām. Eksponenti palīdz izvairīties no lieliem un gariem aprēķiniem, ir vieglāk samazināt un aprēķināt eksponentus. Bet strādāt ar lieliem grādiem, vai ar grādiem lieli cipari, jums jāzina ne tikai grāda īpašības, bet arī kompetenti jāstrādā ar bāzēm, jāspēj tās sadalīt, lai atvieglotu jūsu uzdevumu. Ērtības labad jums jāzina arī to skaitļu nozīme, kas palielināti pakāpē. Tas samazinās risināšanas laiku, novēršot vajadzību pēc gariem aprēķiniem.

Pakāpes jēdzienam logaritmos ir īpaša loma. Tā kā logaritms būtībā ir skaitļa spēks.

Vēl viens pilnvaru izmantošanas piemērs ir saīsinātās reizināšanas formulas. Viņi nevar izmantot grādu īpašības, tie tiek sadalīti pēc īpašiem noteikumiem, bet katrā saīsinātajā reizināšanas formulā vienmēr ir pakāpes.

Grādi tiek aktīvi izmantoti arī fizikā un datorzinātnēs. Visi tulkojumi SI sistēmā tiek veikti, izmantojot grādus, un turpmāk, risinot uzdevumus, tiek pielietotas pakāpes īpašības. Datorzinātnēs skaitīšanas ērtībai un skaitļu uztveres vienkāršošanai tiek aktīvi izmantotas divu pakāpes. Turpmākie aprēķini mērvienību konvertēšanai vai uzdevumu aprēķini, tāpat kā fizikā, notiek, izmantojot pakāpes īpašības.

Grādi ir ļoti noderīgi arī astronomijā, kur reti var atrast grāda īpašību lietojumu, bet paši grādi tiek aktīvi izmantoti, lai saīsinātu dažādu lielumu un attālumu reģistrēšanu.

Grādi tiek izmantoti arī ikdienā, aprēķinot laukumus, apjomus, attālumus.

Ar grādu palīdzību jebkurā zinātnes jomā tiek uzrakstītas ļoti lielas un ļoti mazas vērtības.

eksponenciālie vienādojumi un nevienādības

Pakāpju īpašības ieņem īpašu vietu tieši eksponenciālos vienādojumos un nevienādībās. Šie uzdevumi ir ļoti izplatīti gan skolas kursos, gan eksāmenos. Tie visi tiek atrisināti, pielietojot pakāpes īpašības. Nezināmais vienmēr atrodas pašā pakāpē, tāpēc, zinot visas īpašības, šādu vienādojumu vai nevienādību atrisināt nebūs grūti.

Acīmredzot skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2 .
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Likmes to pašu mainīgo lielumu jaudas var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir 5a 2 .

Ir arī skaidrs, ka, ja mēs ņemam divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot tos to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + a 3 summa.

Ir skaidrs, ka a kvadrāts un a kubs nav ne divreiz lielāks par a kvadrātu, bet gan divreiz lielāks par a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšdaļas zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Jaudas reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.

Tātad rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksmei būs šāda forma: a 5 b 5 y 3 .

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta pakāpe, kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.

Tātad a n .a m = a m+n .

Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir n jauda;

Un a m , tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;

Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot eksponentus.

Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir - negatīvs.

1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.

Ja divu skaitļu summa un starpība, kas izvirzīta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.

Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pakāpju dalījums

Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos daļskaitļa formā.

Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir 3 .

Vai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās šādi: $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.

Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..

Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tas ir, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Vai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums ir spēkā arī cipariem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Arī $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atbilde: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Samaziniet eksponentus $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atbilde: $\frac(2x)(1)$ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5/5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.

6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).

7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .

8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/y.

9. Sadaliet (h 3 - 1)/d 4 ar (d n + 1)/h.

Kā reizināt spēkus? Kuras pilnvaras var reizināt un kuras nevar? Kā reizināt skaitli ar pakāpju?

Algebrā spēku reizinājumu var atrast divos gadījumos:

1) ja grādiem ir vienāds pamats;

2) ja grādiem ir vienādi rādītāji.

Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāzei jāpaliek nemainīgai un jāpievieno eksponenti:

Reizinot grādus ar tiem pašiem rādītājiem, kopējo rādītāju var izņemt iekavās:

Apsveriet, kā reizināt pilnvaras, izmantojot konkrētus piemērus.

Mērvienība eksponentā nav rakstīta, bet, reizinot grādus, tie ņem vērā:

Reizinot, grādu skaits var būt jebkurš. Jāatceras, ka reizināšanas zīmi nevar rakstīt pirms burta:

Izteiksmēs vispirms tiek veikta eksponēšana.

Ja jums ir jāreizina skaitlis ar pakāpju, vispirms jāveic eksponēšana un tikai pēc tam - reizināšana:

www.algebraclass.ru

Pakāpju saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana

Pakāpju saskaitīšana un atņemšana

Acīmredzot skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2 .
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.

Likmes to pašu mainīgo lielumu jaudas var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir 5a 2 .

Ir arī skaidrs, ka, ja mēs ņemam divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot tos to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + a 3 summa.

Ir skaidrs, ka a kvadrāts un a kubs nav ne divreiz lielāks par a kvadrātu, bet gan divreiz lielāks par a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšdaļas zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Jaudas reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.

Tātad rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksmei būs šāda forma: a 5 b 5 y 3 .

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta pakāpe, kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.

Tātad a n .a m = a m+n .

Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir n jauda;

Un a m , tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;

Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot eksponentus.

Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir − negatīvs.

1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.

Ja divu skaitļu summa un starpība, kas izvirzīta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.

Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pakāpju dalījums

Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos daļskaitļa formā.

Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir 3 .

Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās kā $\frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.

Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..

Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tas ir, $\frac = y$.

Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac = a^n$.

Vai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums ir spēkā arī cipariem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus $\frac $ Atbilde: $\frac $.

2. Samaziniet eksponentus $\frac$. Atbilde: $\frac $ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5/5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.

6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).

7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .

8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/y.

pakāpes īpašības

Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs saprotam pakāpes īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem rādītājiem un to īpašības tiks apspriestas mācību stundās 8. klasei.

Eksponentam ar dabisko eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus eksponenta piemēros.

Īpašums Nr. 1
Spēku produkts

Reizinot pakāpes ar to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek pievienoti.

a m a n \u003d a m + n, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkuri naturāli skaitļi.

Šī spēku īpašība ietekmē arī trīs vai vairāku spēku reizinājumu.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā runa bija tikai par spēku reizināšanu ar vienādām bāzēm.. Tas neattiecas uz to pievienošanu.

Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
aprēķināt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243

Īpašums Nr. 2
Privātie grādi

Dalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.

Aprēķināt.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam daļēju grādu īpašību.
3 8: t = 3 4

Atbilde: t = 3 4 = 81

Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.

Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot pakāpes īpašības.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašums aplūkoja tikai pilnvaru sadali ar tiem pašiem pamatiem.

Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja jūs aprēķināt (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 = 4

Īpašums #3
Paaugstināšana

Paaugstinot pakāpju pakāpē, jaudas bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.

(a n) m \u003d a n m, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkuri naturāli skaitļi.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka īpašība Nr. 4, tāpat kā citas grādu īpašības, tiek piemērota arī apgrieztā secībā.

(a n b n)= (a b) n

Tas ir, lai reizinātu grādus ar tiem pašiem eksponentiem, jūs varat reizināt bāzes un atstāt eksponentu nemainīgu.

Vairāk grūti piemēri var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pakāpēs ar dažādu bāzi un dažādiem eksponentiem. Šajā gadījumā mēs iesakām rīkoties šādi.

Piemēram, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Decimāldaļskaitļa paaugstināšanas piemērs.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = četri

Īpašības 5
Koeficienta spēks (daļdaļas)

Lai palielinātu koeficientu līdz pakāpei, varat atsevišķi palielināt dividenžu un dalītāju līdz šai pakāpei un dalīt pirmo rezultātu ar otro.

(a: b) n \u003d a n: b n, kur "a", "b" ir jebkuri racionāli skaitļi, b ≠ 0, n ir jebkurš naturāls skaitlis.

Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.

Grādi un saknes

Darbības ar pilnvarām un saknēm. Grāds ar negatīvu ,

nulle un daļskaitlis indikators. Par izteicieniem, kuriem nav jēgas.

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot jaudas ar vienu un to pašu bāzi, to rādītājus saskaita:

a m · a n = a m + n .

2. Dalot grādus ar vienādu bāzi, to rādītāji atņemts .

3. Divu vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu.

4. Attiecības pakāpe (daļdaļa) ir vienāda ar dividendes (skaitītāja) un dalītāja (saucēja) pakāpju attiecību:

(a/b) n = a n / b n .

5. Paaugstinot pakāpi līdz jaudai, to rādītāji tiek reizināti:

Visas iepriekš minētās formulas tiek nolasītas un izpildītas abos virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.

PIEMĒRS (2 3 5/15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Darbības ar saknēm. Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:

2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un dalītāja sakņu attiecību:

3. Paceļot sakni līdz spēkam, pietiek pacelt līdz šim spēkam saknes numurs:

4. Ja saknes pakāpi palielina par m reižu un vienlaikus paaugstina saknes skaitli līdz m pakāpei, tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja saknes pakāpi samazina par m reizes un vienlaikus izņem no radikālskaitļa m-tās pakāpes sakni, tad saknes vērtība nemainīsies:

Pakāpes jēdziena paplašināšana. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālo rādītāju; bet operācijas ar pilnvarām un saknēm var arī novest pie negatīvs, nulle un daļēja rādītājiem. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.

Grāds ar negatīvu eksponentu. Dažu skaitļu ar negatīvu (veselu) eksponentu jaudu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar negatīvā eksponenta absolūto vērtību:

T tagad formula a m : a n = a m-n var izmantot ne tikai m, vairāk par n, bet arī plkst m, mazāk nekā n .

PIEMĒRS a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ja mēs gribam formulu a m : a n = a m — n bija godīgi plkst m = n, mums ir nepieciešama nulles pakāpes definīcija.

Grāds ar nulles eksponentu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle ar nulles eksponentu, pakāpe ir 1.

PIEMĒRI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālo skaitli a līdz pakāpei m / n, jums ir jāizņem n-tās pakāpes sakne no šī skaitļa m pakāpes a:

Par izteicieniem, kuriem nav jēgas. Ir vairāki šādi izteicieni.

kur a ≠ 0 , neeksistē.

Patiešām, ja mēs tā pieņemam x ir noteikts skaitlis, tad saskaņā ar sadalīšanas darbības definīciju mums ir: a = 0· x, t.i. a= 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu: a ≠ 0

— jebkurš skaitlis.

Patiešām, ja pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 x. Bet šī vienlīdzība ir spēkā jebkurš skaitlis x, kas bija jāpierāda.

0 0 — jebkurš skaitlis.

Risinājums. Apsveriet trīs galvenos gadījumus:

1) x = 0 – šī vērtība neapmierina šo vienādojumu

2) kad x> 0 mēs iegūstam: x/x= 1, t.i. 1 = 1, no kurienes seko,

kas x- jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā to

mūsu lieta x> 0, atbilde ir x > 0 ;

Noteikumi pilnvaru reizināšanai ar dažādiem pamatiem

GRĀDS AR RACIONĀLO INDIKATORU,

JAUDAS FUNKCIJA IV

69.§ Pilnvaru pavairošana un dalīšana ar vienādiem pamatiem

1. teorēma. Lai reizinātu jaudas ar vienādām bāzēm, pietiek pievienot eksponentus un atstāt bāzi to pašu, tas ir

Pierādījums. Pēc grāda definīcijas

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Mēs esam apsvēruši divu spēku reizinājumu. Faktiski pierādītais īpašums ir patiess jebkuram skaitam pilnvaru ar vienādām bāzēm.

2. teorēma. Lai dalītu pilnvaras ar vienādām bāzēm, kad dividendes rādītājs ir lielāks par dalītāja rādītāju, pietiek atņemt dalītāja rādītāju no dividendes rādītāja un atstāt bāzi to pašu, tas ir plkst t > n

(a =/= 0)

Pierādījums. Atcerieties, ka viena skaitļa dalīšanas ar citu koeficients ir skaitlis, kuru reizinot ar dalītāju, tiek iegūta dividende. Tāpēc pierādiet formulu , kur a =/= 0, tas ir kā formulas pierādīšana

Ja t > n , tad numurs t - lpp būs dabiski; tāpēc ar 1. teorēmu

2. teorēma ir pierādīta.

Ņemiet vērā, ka formula

mēs pierādījām tikai ar pieņēmumu, ka t > n . Tāpēc no pierādītā vēl nav iespējams izdarīt, piemēram, šādus secinājumus:

Turklāt mēs vēl neesam apsvēruši grādus ar negatīviem eksponentiem, un mēs vēl nezinām, kādu nozīmi var piešķirt izteiksmei 3 - 2 .

3. teorēma. Lai palielinātu pakāpju pakāpē, pietiek ar eksponentu reizināšanu, atstājot eksponenta bāzi to pašu, tas ir

Pierādījums. Izmantojot pakāpes definīciju un šīs sadaļas 1. teorēmu, mēs iegūstam:

Q.E.D.

Piemēram, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Mutiski.) Noteikt X no vienādojumiem:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Pielāgots) Vienkāršot:

520. (Pielāgots) Vienkāršot:

521. Uzrāda šīs izteiksmes kā grādus ar vienādām bāzēm:

1) 32. un 64.; 3) 85. un 163.; 5) 4 100 un 32 50;

2) -1000 un 100; 4) -27 un -243; 6) 81 75 8 200 un 3 600 4 150.