Desemnarea liniilor de intersectare. A întrece măsura

La prelegeri şi exercitii practice se va adopta un sistem de notaţie şi simbolism (Tabelul 2.3), elaborat de prof. N.F. Chetverukhin. Sistemul acestor notații este utilizat în prezent pe scară largă de către departamentele de geometrie descriptivă și grafică de inginerie ale universităților de top din Rusia.

masa 2

DENUMIREA OBIECTELOR GEOMETRICE

Tabelul 3

SIMBOLULE DE RELATIE SI OPERATIILE LOGICE

4. INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU REALIZAREA LUCRĂRILOR GRAFICE

Lucrare grafica № 1

"Proiectie"

Exercițiu:

1. Pe format A3, folosind două proiecții date ale casei, construiți o proiecție de profil, mărind imaginea de 2 ori.

2. Determinați în desen, desemnați și înregistrați în tabelul din colțul din dreapta jos (dimensiunea tabelului - 100x100 mm), situat deasupra inscripției principale, poziția liniilor în spațiu (drept pozitia generala, trei linii de nivel, trei linii proeminente, o pereche de linii paralele, o pereche de linii de intersectare, o pereche de linii de intersectare).

3. Determinați dimensiunea naturală a unei drepte în poziție generală și unghiurile sale de înclinare față de planurile de proiecție.

4. Determinați coordonatele oricăror cinci puncte desemnate. Introduceți datele în tabelul din colțul din dreapta sus al formatului (dimensiunea tabelului 40x60 mm).

5. Selectați și construiți o proiecție axonometrică a casei pe format A4, desenați o diagramă a axelor axonometrice. Nuanțați axonometria cu creioane colorate.

Instrucțiuni pentru efectuarea lucrărilor grafice Nr. 1. Pe o coală de hârtie A3, desenați axele de coordonate în centrul foii. În funcție de opțiunea dvs., construiți două proiecții ale „Casei”, mărind imaginea de 2 ori. Proiecția frontală a bazei „casei” ar trebui să fie pe axa OX. Folosind linii de comunicare de proiecție, construiți o a treia proiecție a „casei”.

Apoi, identificați și desemnați secvențial cu majuscule ale alfabetului latin pe trei proiecții ale „casei” liniile drepte indicate în sarcină. Introduceți rezultatele obținute în tabel. O mostră de completare a tabelului este prezentată în figură.

Pentru linia dreaptă găsită în poziție generală pe planul P 1 și P 2, determinați și desemnați dimensiunea naturală folosind metoda triunghi dreptunghicși unghiurile sale de înclinare față de planurile orizontale și frontale ale proiecțiilor (α și β).

Pentru oricare cinci puncte desemnate, determinați coordonatele. Introduceți valorile în mm în tabel. O mostră de completare a tabelului este prezentată în figură.

Selectați tipul de proiecție axonometrică astfel încât în ​​imaginea casei planurile (marginile) să nu fie proiectate în linii. Pe formatul A4, construiți proiecția axonometrică selectată, păstrând proiecția orizontală secundară și axele axonometrice.

Folosind creioane colorate, colorați proiecția axonometrică a „Casei”. Desenați o diagramă a axelor axonometrice în colțul din dreapta sus. Un exemplu de lucrare grafică în Figura 9.10.

Opțiuni pentru sarcini pentru lucrarea grafică Nr. 1 „Proiectare”

Lucrarea grafică nr 2

„Construcția unei prisme trunchiate și a unui cilindru trunchiat”

Exercițiu:

Lucrarea grafică este realizată pe două formate A3 și constă din două sarcini.

Sarcina nr. 1. Construiți trei proiecții ale unei prisme hexagonale drepte (luați datele pentru construcție din tabel în funcție de versiunea dvs.). Construiți dimensiunea naturală a conturului secțiunii folosind metoda înlocuirii planurilor de proiecție. Construiți o dezvoltare. Selectați și desenați o proiecție axonometrică. Nu aplicați dimensiuni. Desenul trebuie să indice punctele pentru liniile de conexiune de construcție și proiecție.

În acest articol, vom defini mai întâi unghiul dintre liniile de încrucișare și vom oferi o ilustrare grafică. În continuare, vom răspunde la întrebarea: „Cum să găsim unghiul dintre liniile de încrucișare dacă sunt cunoscute coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii într-un sistem de coordonate dreptunghiular”? În concluzie, vom exersa găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează atunci când rezolvăm exemple și probleme.

Navigare în pagină.

Unghiul dintre liniile drepte care se intersectează - definiție.

Vom aborda treptat determinarea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează.

Mai întâi, să ne amintim definiția liniilor oblice: două linii din spațiul tridimensional sunt numite încrucișarea, dacă nu se află în același plan. Din această definiție rezultă că liniile care se intersectează nu se intersectează, nu sunt paralele și, în plus, nu coincid, altfel s-ar afla ambele într-un anumit plan.

Să oferim mai multe raționamente auxiliare.

Să fie date două drepte care se intersectează a și b în spațiul tridimensional. Să construim drepte a 1 și b 1 astfel încât să fie paralele cu liniile oblice a și, respectiv, b, și să treacă printr-un punct din spațiul M 1 . Astfel, obținem două drepte care se intersectează a 1 și b 1. Fie unghiul dintre liniile care se intersectează a 1 și b 1 egal cu unghiul. Acum să construim drepte a 2 și b 2, paralele cu liniile oblice a și, respectiv, b, care trec printr-un punct M 2, diferit de punctul M 1. Unghiul dintre liniile care se intersectează a 2 și b 2 va fi, de asemenea, egal cu unghiul. Această afirmație este adevărată, deoarece liniile drepte a 1 și b 1 vor coincide cu liniile drepte a 2 și, respectiv, b 2, dacă se efectuează un transfer paralel, în care punctul M 1 se deplasează în punctul M 2. Astfel, măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează într-un punct M, respectiv paralel cu liniile de intersectare date, nu depinde de alegerea punctului M.

Acum suntem gata să definim unghiul dintre liniile care se intersectează.

Definiție.

Unghiul dintre liniile care se intersectează este unghiul dintre două drepte care se intersectează care sunt, respectiv, paralele cu liniile de intersectare date.

Din definiție rezultă că unghiul dintre liniile de încrucișare nu va depinde nici de alegerea punctului M. Prin urmare, ca punct M putem lua orice punct aparținând uneia dintre dreptele care se intersectează.

Să dăm o ilustrare a determinării unghiului dintre liniile care se intersectează.

Găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează.

Deoarece unghiul dintre liniile care se intersectează este determinat prin unghiul dintre liniile care se intersectează, găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează se reduce la găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează corespunzătoare în spațiul tridimensional.

Fără îndoială, metodele studiate la orele de geometrie din liceu sunt potrivite pentru găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează. Adică, după finalizarea construcțiilor necesare, puteți conecta unghiul dorit cu orice unghi cunoscut din condiție, pe baza egalității sau asemănării figurilor, în unele cazuri va ajuta teorema cosinusului, iar uneori duce la rezultat definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi triunghi dreptunghic.

Cu toate acestea, este foarte convenabil să rezolvați problema găsirii unghiului dintre liniile de încrucișare folosind metoda coordonatelor. Asta vom lua în considerare.

Lăsați Oxyz să fie introdus în spațiul tridimensional (totuși, în multe probleme trebuie să îl introduceți singur).

Să ne punem o sarcină: să găsim unghiul dintre liniile de încrucișare a și b, care corespund unor ecuații ale unei linii în spațiu în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz.

Să rezolvăm.

Să luăm un punct arbitrar din spațiul tridimensional M și să presupunem că prin el trec drepte a 1 și b 1, paralele cu liniile drepte care se încrucișează a și, respectiv, b. Atunci unghiul necesar dintre liniile care se intersectează a și b este egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează a 1 și b 1 prin definiție.

Astfel, trebuie doar să găsim unghiul dintre liniile care se intersectează a 1 și b 1. Pentru a aplica formula pentru găsirea unghiului dintre două drepte care se intersectează în spațiu, trebuie să cunoaștem coordonatele vectorilor de direcție ai dreptelor a 1 și b 1.

Cum le putem obține? Și este foarte simplu. Definiția vectorului de direcție al unei drepte ne permite să afirmăm că seturile de vectori de direcție ai dreptelor paralele coincid. Prin urmare, vectorii de direcție ai dreptelor a 1 și b 1 pot fi luați ca vectori de direcție Și drepte a și respectiv b.

Asa de, Unghiul dintre două drepte care se intersectează a și b se calculează prin formula
, Unde Și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b.

Formula pentru găsirea cosinusului unghiului dintre liniile de încrucișare a și b au forma .

Vă permite să găsiți sinusul unghiului dintre liniile care se încrucișează dacă cosinusul este cunoscut: .

Rămâne să analizăm soluțiile la exemple.

Exemplu.

Găsiți unghiul dintre liniile de încrucișare a și b, care sunt definite în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz prin ecuații Și .

Soluţie.

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu vă permit să determinați imediat coordonatele vectorului de direcție al acestei linii drepte - sunt date de numerele din numitorii fracțiilor, adică . Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu permit, de asemenea, să se noteze imediat coordonatele vectorului de direcție - acestea sunt egale cu coeficienții din fața parametrului, adică - vector direct . Astfel, avem toate datele necesare pentru a aplica formula prin care se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează:

Răspuns:

Unghiul dintre liniile de intersectare date este egal cu .

Exemplu.

Aflați sinusul și cosinusul unghiului dintre liniile de încrucișare pe care se află muchiile AD și BC ale piramidei ABCD, dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acesteia: .

Soluţie.

Vectorii de direcție ai liniilor de încrucișare AD și BC sunt vectorii și . Să calculăm coordonatele lor ca diferență între coordonatele corespunzătoare ale punctelor de sfârșit și de început ale vectorului:

Conform formulei putem calcula cosinusul unghiului dintre liniile de încrucișare specificate:

Acum să calculăm sinusul unghiului dintre liniile de încrucișare:

Un punct este un obiect abstract care nu are caracteristici de măsurare: fără înălțime, fără lungime, fără rază. În scopul sarcinii, este importantă doar locația acesteia

Punctul este indicat printr-un număr sau o literă latină majusculă. Mai multe puncte - cu numere diferite sau litere diferite pentru a putea fi distinse

punctul A, punctul B, punctul C

punctul 1, punctul 2, punctul 3

Puteți desena trei puncte „A” pe o bucată de hârtie și puteți invita copilul să tragă o linie prin cele două puncte „A”. Dar cum să înțelegem prin care dintre ele? A A A

O linie este un set de puncte. Se măsoară doar lungimea. Nu are latime sau grosime

Indicat prin litere latine mici (mici).

linia a, linia b, linia c

Linia poate fi

1. închis dacă începutul și sfârșitul lui sunt în același punct,
2. deschis dacă începutul și sfârșitul lui nu sunt conectate

linii închise

linii deschise

1. auto-intersectându-se
2. fără autointersecții

linii de auto-intersectare

linii fără auto-intersecții

1. Drept
2. spart
3. strâmb

linii drepte

linii întrerupte

linii curbe

O linie dreaptă este o linie care nu este curbă, nu are nici început, nici sfârșit, poate fi continuată la nesfârșit în ambele direcții

Chiar și atunci când o mică secțiune a unei linii drepte este vizibilă, se presupune că aceasta continuă la nesfârșit în ambele direcții

Indicat printr-o literă latină mică (mică). Sau două majuscule (majuscule) latine - puncte situate pe o linie dreaptă

linie dreaptă a

linie dreaptă AB

Direct poate fi

1. intersectându-se dacă au un punct comun. Două linii se pot intersecta doar într-un punct.
   • perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept (90°).
2. Paralele, dacă nu se intersectează, nu au un punct comun.

linii paralele

linii de intersectare

linii perpendiculare

O rază este o parte a unei linii drepte care are un început, dar nu poate fi continuată la infinit într-o singură direcție

Raza de lumină din imagine are punctul de plecare ca soare.

Soare

Un punct împarte o linie dreaptă în două părți - două raze A A

Grinda este desemnată printr-o literă latină mică (mică). Sau două majuscule (majuscule) latine, unde prima este punctul de la care începe raza, iar a doua este punctul situat pe rază

raza a

fascicul AB

Razele coincid dacă

1. situat pe aceeași linie dreaptă
2. începe la un moment dat
3. îndreptată într-o singură direcție

razele AB și AC coincid

razele CB și CA coincid

Un segment este o parte a unei linii care este limitată de două puncte, adică are atât un început, cât și un sfârșit, ceea ce înseamnă că lungimea sa poate fi măsurată. Lungimea unui segment este distanța dintre punctele sale de început și de sfârșit

Printr-un punct puteți desena orice număr de linii, inclusiv linii drepte

Prin două puncte - un număr nelimitat de curbe, dar o singură linie dreaptă

linii curbe care trec prin două puncte

linie dreaptă AB

O bucată a fost „tăiată” din linie dreaptă și a rămas un segment. Din exemplul de mai sus puteți vedea că lungimea sa este cea mai scurtă distanță dintre două puncte. ✂ B A ✂

Un segment este notat cu două litere latine majuscule, unde prima este punctul în care începe segmentul, iar a doua este punctul în care se termină segmentul

segmentul AB

Problemă: unde este linia, raza, segmentul, curba?

O linie întreruptă este o linie formată din segmente conectate consecutiv, care nu la un unghi de 180°

Un segment lung a fost „divizat” în mai multe segmente scurte

Legăturile unei linii întrerupte (asemănătoare cu legăturile unui lanț) sunt segmentele care alcătuiesc linia întreruptă. Legăturile adiacente sunt legături în care sfârșitul unei legături este începutul altuia. Legăturile adiacente nu trebuie să se afle pe aceeași linie dreaptă.

Vârfurile unei linii întrerupte (asemănătoare cu vârfurile munților) sunt punctul de la care începe linia întreruptă, punctele în care sunt conectate segmentele care formează linia întreruptă și punctul în care se termină linia întreruptă.

O linie întreruptă este desemnată prin listarea tuturor vârfurilor sale.

linie întreruptă ABCDE

vârful poliliniei A, vârful poliliniei B, vârful poliliniei C, vârful poliliniei D, vârful poliliniei E

verigă ruptă AB, verigă ruptă BC, verigă ruptă CD, verigă ruptă DE

legătura AB și legătura BC sunt adiacente

linkul BC și linkul CD sunt adiacente

link CD și link DE sunt adiacente

Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Sarcină: care linie întreruptă este mai lungă, A care are mai multe vârfuri? Prima linie are toate legăturile de aceeași lungime și anume 13 cm. A doua linie are toate verigile de aceeași lungime, și anume 49 cm. A treia linie are toate verigile de aceeași lungime, și anume 41 cm.

Un poligon este o linie poligonală închisă

Laturile poligonului (expresiile vă vor ajuta să vă amintiți: „mergi în toate cele patru direcții”, „aleargă spre casă”, „pe ce parte a mesei vei sta?”) sunt verigile unei linii întrerupte. Laturile adiacente ale unui poligon sunt legături adiacente ale unei linii întrerupte.

Vârfurile unui poligon sunt vârfurile unei linii întrerupte. Vârfurile adiacente sunt punctele de capăt ale unei laturi ale poligonului.

Un poligon este notat prin listarea tuturor vârfurilor sale.

polilinie închisă fără autointersecție, ABCDEF

poligon ABCDEF

poligon vârf A, poligon vârf B, poligon vârf C, poligon vârf D, poligon vârf E, poligon vârf F

vârful A și vârful B sunt adiacente

vârful B și vârful C sunt adiacente

vârful C și vârful D sunt adiacente

vârful D și vârful E sunt adiacente

vârful E și vârful F sunt adiacente

vârful F și vârful A sunt adiacente

latura poligonului AB, latura poligonului BC, latura poligonului CD, latura poligonului DE, latura poligonului EF

latura AB și latura BC sunt adiacente

partea BC și partea CD sunt adiacente

Partea CD și partea DE sunt adiacente

latura DE și latura EF sunt adiacente

partea EF și partea FA sunt adiacente

Perimetrul unui poligon este lungimea liniei întrerupte: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon etc.

Simbolism genetic

Simbolismul este o listă și o explicație a numelor și termenilor convenționali folosiți în orice ramură a științei.

Bazele simbolismului genetic au fost puse de Gregor Mendel, care a folosit simbolismul alfabetic pentru a desemna trăsăturile. Trăsăturile dominante au fost desemnate cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C etc., caractere recesive - cu litere mici - a, b, c etc. Simbolismul literal, propus de Mendel, este în esență o formă algebrică de exprimare a legilor moștenirii caracteristicilor.

Următorul simbolism este folosit pentru a indica încrucișarea.

Părinții sunt desemnați prin litera latină P (Părinți - părinți), apoi genotipurile lor sunt notate lângă ei. Genul feminin este desemnat prin simbolul ♂ (oglinda lui Venus), genul masculin prin ♀ (scutul și sulița lui Marte). Un „x” este plasat între părinți pentru a indica încrucișarea. Genotipul feminin este scris pe primul loc, iar cel masculin pe al doilea.

Prima generație este desemnată F 1 (Filli - copii), a doua generație - F 2 etc. În apropiere se află denumirile genotipurilor descendenților.

Glosar de termeni și concepte de bază

Alele (gene alelice) — forme diferite o genă, rezultată din mutații și situată în puncte identice (loci) ale cromozomilor omologi perechi.

Semne alternative– caracteristici care se exclud reciproc, contrastante.

Gametes (din grecescul „gametes” „- soțul/soția) este o celulă reproductivă a unui organism vegetal sau animal care poartă o genă dintr-o pereche alelică. Gameții poartă întotdeauna gene într-o formă „pură”, deoarece sunt formate prin diviziunea celulară meiotică și conțin unul dintr-o pereche de cromozomi omologi.

Gen (din grecescul „genos” „- nașterea) este o secțiune a unei molecule de ADN care poartă informații despre structura primară a unei proteine ​​specifice.

Genele alelice – gene pereche situate în regiuni identice ale cromozomilor omologi.

Genotip - un set de înclinații ereditare (gene) ale unui organism.

Heterozigot (din grecescul „heteros” " - altul și zigot) - un zigot care are două alele diferite pentru o anumită genă ( Aa, Bb).

Heterozigotsunt indivizi care au primit gene diferite de la părinții lor. Un individ heterozigot la descendenții săi produce segregare pentru această trăsătură.

Homozigot (din grecescul „homos” " - identic și zigot) - un zigot care are aceleași alele ale unei anumite gene (ambele dominante sau ambele recesive).

Homozigot sunt numiți indivizi care au primit de la părinți aceleași înclinații ereditare (gene) pentru o anumită trăsătură. Un individ homozigot nu produce clivaj la descendenții săi.

Cromozomi omologi(din greaca „homos” " - identice) - cromozomi perechi, identici ca formă, mărime, set de gene. ÎN celula diploidă setul de cromozomi este întotdeauna pereche: un cromozom este dintr-o pereche de origine maternă, al doilea este patern.

Heterozigotsunt indivizi care au primit gene diferite de la părinții lor. Astfel, după genotip, indivizii pot fi homozigoți (AA sau aa) sau heterozigoți (Aa).

Trăsătura dominantă (gena) – predominant, manifestând - indicat cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C etc.

Trăsătură recesivă (genă) – semnul suprimat este indicat de litera minusculă corespunzătoare a alfabetului latin: a, b c etc.

Analizând traversarea– încrucișarea organismului testat cu altul, care este un homozigot recesiv pentru o trăsătură dată, ceea ce face posibilă stabilirea genotipului subiectului testat.

Traversare dihibridă– încrucișarea formelor care diferă între ele în două perechi de caracteristici alternative.

Traversare monohibridă– încrucișarea formelor care diferă unele de altele într-o pereche de caracteristici alternative.

Curata liniile - organisme care sunt homozigote pentru una sau mai multe trăsături și nu produc manifestări ale unei trăsături alternative la descendenții lor.

Uscătorul de păr este un semn.

Fenotip - totalitatea tuturor semnelor și proprietăților externe ale unui organism accesibil observației și analizei.

Algoritm pentru rezolvarea problemelor genetice

1. Citiți cu atenție nivelul sarcinii.
2. Notați pe scurt condițiile problemei.
3. Înregistrați genotipurile și fenotipurile indivizilor încrucișați.
4. Identificați și înregistrați tipurile de gameți care sunt produși de indivizii încrucișați.
5. Determinați și înregistrați genotipurile și fenotipurile descendenților obținuți din încrucișare.
6. Analizați rezultatele încrucișării. Pentru a face acest lucru, determinați numărul de clase de descendenți în funcție de fenotip și genotip și scrieți-le ca raport numeric.
7. Scrieți răspunsul la întrebarea din problemă.

(La rezolvarea problemelor pe anumite subiecte, succesiunea etapelor se poate modifica și conținutul acestora poate fi modificat.)

Sarcini de formatare

1. Se obișnuiește să se înregistreze mai întâi genotipul feminin și apoi cel masculin (intrare corectă - ♀ААВВ x ♂аавв; Intrare invalida- ♂ aavv x ♀AABB).
2. Genele unei perechi alelice sunt întotdeauna scrise una lângă alta(introducerea corectă - ♀ААВВ; intrarea incorectă ♀ААВВ).
3. La înregistrarea unui genotip, literele care denotă trăsături sunt întotdeauna scrise în ordine alfabetică, indiferent de ce trăsătură - dominantă sau recesivă - denotă (intrare corectă - ♀ааВВ;intrare incorectă -♀ VVaa).
4. Dacă se cunoaște doar fenotipul unui individ, atunci când se înregistrează genotipul acestuia, se notează doar acele gene a căror prezență este incontestabilă.O genă care nu poate fi determinată prin fenotip este desemnată cu „_”(de exemplu, dacă culoarea galbenă (A) și forma netedă (B) a semințelor de mazăre sunt trăsături dominante, iar culoarea verde (a) și forma încrețită (c) sunt recesive, atunci genotipul unui individ cu semințe galbene și ridate se scrie astfel: A_vv).
5. Fenotipul este întotdeauna scris sub genotip.
6. Gametele se scriu încercuind.(A).
7. La indivizi, tipurile de gameți sunt determinate și înregistrate, nu numărul lor