Adunarea variabilelor cu aceleași puteri. Reguli pentru scăderea și adăugarea puterilor

Dacă trebuie să ridici un anumit număr la o putere, poți folosi . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietăți ale gradelor.

Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.

De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Adică, 16 cu 64 = 4x4x4x4x4, care este, de asemenea, egal cu 1024.

Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.

Acum să folosim regula. 16=4 2 sau 2 4, 64=4 3 sau 2 6, în același timp 1024=6 4 =4 5 sau 2 10.

Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă diferit: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.

Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugând exponenți, sau exponențial, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.

Astfel, fără a efectua înmulțirea, putem spune imediat că 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2, care în numere obișnuite este egal cu 32:8 = 4, adică 2 2. Să rezumăm:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, unde m și n sunt numere întregi.

La prima vedere poate părea că așa este înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16, adică 2 3 și 2 4, în această formă, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în cazurile în care un număr poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele pentru expresiile exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8x9 este 2 3 x 3 2, caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu sunt răspunsul și nici răspunsul nu se află în intervalul dintre aceste două numere.

Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă beneficii enorme, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.

Lecție pe tema: "Reguli de înmulțire și împărțire a puterilor cu aceiași și diferiți exponenți. Exemple"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a VII-a
Manual pentru manualul Yu.N. Makarycheva Manual pentru manual de A.G. Mordkovici

Scopul lecției: învățați să efectuați operații cu puteri ale numerelor.

În primul rând, să ne amintim conceptul de „putere a numărului”. O expresie de forma $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ poate fi reprezentată ca $a^n$.

Este adevărat și invers: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Această egalitate se numește „înregistrarea gradului ca produs”. Ne va ajuta să stabilim cum să înmulțim și să împărțim puterile.
Tine minte:
A– baza diplomei.
n– exponent.
Dacă n=1, ceea ce înseamnă numărul A a luat o dată și în consecință: $a^n= a$.
Dacă n= 0, atunci $a^0= 1$.

Putem afla de ce se întâmplă acest lucru atunci când ne familiarizăm cu regulile înmulțirii și împărțirii puterilor.

Reguli de multiplicare

Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Această proprietate este convenabilă de utilizat pentru a simplifica munca la ridicarea unui număr la o putere mai mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dacă se înmulțesc grade cu baze diferite, dar același exponent.
Pentru a obține $a^n * b^n$, scriem gradele ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Dacă schimbăm factorii și numărăm perechile rezultate, obținem: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Deci $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Regulile de diviziune

Deci, avem nevoie $\frac(a^n)(a^m)$, Unde n>m.

Să scriem gradele sub formă de fracție:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Acum să reducem fracția.

Rezultă: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Mijloace, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Această proprietate va ajuta la explicarea situației cu ridicarea unui număr la puterea zero. Să presupunem că n=m, atunci $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Exemple.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Bazele gradului sunt diferite, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că $\frac(a^n)( b^n)$ este necesar. Să scriem puterile numerelor sub formă de fracții:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Exemplu.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Conceptul de licență în matematică este introdus în clasa a VII-a la ora de algebră. Și ulterior, pe parcursul întregului curs de studiere a matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra cu grade mai repede și mai bine, matematicienii au venit cu proprietăți ale gradului. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută proprietățile de bază ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

Proprietăți ale gradului

Vom analiza 12 proprietăți ale gradelor, inclusiv proprietăți ale gradelor cu aceleași baze și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade și, de asemenea, vă va salva de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate și greșesc, reprezentând un număr la puterea zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie amintit că această proprietate poate fi folosită numai la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu o sumă! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceleași baze.

a 4-a proprietate.

Dacă un număr din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat în paranteze pentru a schimba corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu se aplică la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și în direcția opusă. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr în minus.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Creșterea unei sume sau diferențe la o putere folosește mai degrabă formule de înmulțire abreviate decât proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice putere fracționară cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar puterea rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul puterii.

Această proprietate este adesea folosită și în sens invers. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acest număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina unui număr nu poate fi extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate nu funcționează numai cu rădăcină pătrată si gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată coincid, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru a lua decizia corectă, nu este suficient să cunoașteți doar proprietățile de care aveți nevoie să exersați și să încorporați alte cunoștințe matematice;

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Licențele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile și inegalitățile exponențiale sunt rezolvate, iar ecuațiile și exemplele legate de alte ramuri ale matematicii sunt adesea complicate de puteri. Puterile ajută la evitarea calculelor mari și lungi; puterile sunt mai ușor de abreviat și calculat. Dar pentru lucrul cu grade mari, sau cu grade numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradelor, ci și să lucrați competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul la rezolvare, eliminând necesitatea calculelor lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este o putere a unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Proprietățile gradelor nu pot fi folosite în ele, ele sunt extinse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire abreviată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate conversiile la sistemul SI se fac folosind puteri, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se folosesc proprietățile puterii. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ pentru confortul numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversia unităților de măsură sau calcule ale problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile grade.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar vezi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta notarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, atunci când se calculează suprafețe, volume și distanțe.

Gradele sunt folosite pentru a înregistra cantități foarte mari și foarte mici în orice domeniu al științei.

Ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradelor ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursurile școlare, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților de grad. Necunoscutul se găsește întotdeauna în gradul în sine, așa că cunoașterea tuturor proprietăților, rezolvarea unei astfel de ecuații sau inegalități nu este dificilă.

Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.

De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.

Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu Cantitate grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;

Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grade.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.

Sau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac(a^5)(a^3)$. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac(yyy)(yy) = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este un -2.
De asemenea, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții cu $\frac(5a^4)(3a^2)$ Răspuns: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Scădeți exponenții cu $\frac(6x^6)(3x^5)$. Răspuns: $\frac(2x)(1)$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

9. Împărțiți (h 3 - 1)/d 4 la (d n + 1)/h.

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi un produs al puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceleași baze;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie lăsată aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul general poate fi scos din paranteze:

Să ne uităm la cum să înmulțim puteri folosind exemple specifice.

Unitatea nu este scrisă în exponent, dar la înmulțirea puterilor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, poate exista orice număr de puteri. Trebuie amintit că nu trebuie să scrieți semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea se face mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi înmulțirea:

www.algebraclass.ru

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor

Adunarea și scăderea puterilor

Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.

De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.

Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu Cantitate grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, care este egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;

Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grade.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2.
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Scădeți exponenții cu $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Scădeți exponenții cu $\frac$. Răspuns: $\frac$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

Proprietăți ale gradului

Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali și zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.

O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.

Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea nr. 2
Grade parțiale

La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Calculati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere

La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

(a n b n)= (a b) n

Adică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele, dar lăsați exponentul neschimbat.

În mai mult exemple complexe Pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Puterea unui coeficient (fracție)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n - orice număr natural.

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Puteri și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când se ridică o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, ridicați numărul radicalului la puterea mth, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și extrageți simultan rădăcina a m-a a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroȘi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect când m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

De fapt, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci în conformitate cu definiția operației de împărțire avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · X. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.

0 0 — orice număr.

Soluție Să luăm în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă

Ce X- orice număr; dar tinand cont ca in

în cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite

GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 69. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze

Teorema 1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică

Dovada. Prin definiția gradului

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ne-am uitat la produsul a două puteri. De fapt, proprietatea dovedită este adevărată pentru orice număr de puteri cu aceleași baze.

Teorema 2. Pentru a împărți puteri cu aceleași baze, atunci când indicele dividendului este mai mare decât indicele divizorului, este suficient să scădem indicele divizorului din indicele dividendului și să lăsați baza aceeași, adică la t > p

(A =/= 0)

Dovada. Amintiți-vă că câtul împărțirii unui număr la altul este numărul care, înmulțit cu divizorul, dă dividendul. Prin urmare, demonstrați formula unde A =/= 0, este același lucru cu demonstrarea formulei

Dacă t > p , apoi numărul t - p va fi natural; prin urmare, prin teorema 1

Teorema 2 este demonstrată.

Trebuie remarcat faptul că formula

am dovedit-o doar în ipoteza că t > p . Prin urmare, din ceea ce s-a dovedit, nu este încă posibil să se tragă, de exemplu, următoarele concluzii:

În plus, nu am luat în considerare încă grade cu exponenți negativi și nu știm încă ce semnificație i se poate da expresiei 3 - 2 .

Teorema 3. Pentru a ridica un grad la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza gradului aceeași, acesta este

Dovada. Folosind definiția gradului și teorema 1 din această secțiune, obținem:

Q.E.D.

De exemplu, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral) Determinați X din ecuatii:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Setul nr.) Simplificați:

520. (Setul nr.) Simplificați:

521. Prezentați aceste expresii sub formă de grade cu aceleași baze:

1) 32 și 64; 3) 8 5 și 16 3; 5) 4 100 și 32 50;

2) -1000 și 100; 4) -27 și -243; 6) 81 75 8 200 și 3 600 4 150.