Складання змінних з однаковими ступенями. Правила віднімання та складання ступенів

Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число на ступінь, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.

Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення на додавання, а складати набагато легше, ніж множити.

Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4х4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.

Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.

А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , чи 2 4 , 64=4 3 , чи 2 6 , до того ж час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .

Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і щоразу ми отримуємо 1024.

Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.

Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Отже, 2 5:2 3 =2 2 , що у звичайних числах дорівнює 32:8=4, тобто 2 2 . Підведемо підсумки:

a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.

З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити в такій формі числа 8 і 16, тобто 23 і 24, але як це зробити з числами 7 і 17? Або як чинити в тих випадках, коли число можна подати в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 не є відповіддю, відповідь також не лежить в інтервалі між цими двома числами.

Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.

Урок на тему: "Правила множення та поділу ступенів з однаковими та різними показниками. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Посібник до підручника Ю.М. Макарічева Посібник до підручника А.Г. Мордковича

Мета уроку: навчиться робити дії зі ступенями числа.

Для початку згадаємо поняття "ступінь числа". Вираз виду $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ можна уявити, як $a^n$.

Справедливо також обернене: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ця рівність називається "запис ступеня у вигляді твору". Воно допоможе нам визначити, як множити і ділити ступеня.
Запам'ятайте:
a- Підстава ступеня.
n- показник ступеня.
Якщо n = 1отже, число авзяли раз і відповідно: $a^n= a$.
Якщо n = 0, то $ a ^ 0 = 1 $.

Чому так відбувається, ми зможемо з'ясувати, коли познайомимося з правилами множення та поділу ступенів.

Правила множення

приклад.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ця властивість зручно використовувати, щоб спростити роботу при зведенні числа у велику міру.
приклад.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Якщо множаться ступені з різною основою, але однаковим показником.
Щоб $a^n * b^n$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_(m ) $.
Якщо поміняти місцями множники і порахувати пари, отримаємо: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Отже, $a^n*b^n=(a*b)^n$.

приклад.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила розподілу

Отже, треба $\frac(a^n)(a^m)$, де n > m.

Запишемо ступеня у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Тепер скоротимо дріб.

Виходить: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Значить, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ця властивість допоможе пояснити ситуацію зі зведенням числа в нульовий ступінь. Припустимо, що n=mтоді $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

приклади.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Підстави ступеня різні, показники однакові.
Допустимо, необхідно $\frac(a^n)( b^n)$. Запишемо ступеня чисел у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

приклад.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Поняття ступеня в математиці вводиться ще 7 класі під час уроку алгебри. І надалі протягом усього курсу вивчення математики це поняття активно використовується у різних своїх видах. Ступені – досить важка тема, що вимагає запам'ятовування значень та вміння правильно та швидко порахувати. Для більш швидкої та якісної роботи зі ступенями математики вигадали властивості ступеня. Вони допомагають скоротити великі обчислення, перетворити величезний приклад однією число певною мірою. Властивостей не так багато, і всі вони легко запам'ятовуються і застосовуються на практиці. Тому у статті розглянуто основні властивості ступеня, а також те, де вони застосовуються.

Властивості ступеня

Ми розглянемо 12 властивостей ступеня, у тому числі й властивості ступенів з однаковими основами, і до кожної властивості наведемо приклад. Кожна з цих властивостей допоможе вам швидше вирішувати завдання зі ступенями, а також врятує вас від численних помилок.

1-е властивість.

Про цю властивість багато хто дуже часто забуває, робить помилки, представляючи число в нульовому ступені як нуль.

2-ге властивість.

3-тє властивість.

Потрібно пам'ятати, що цю властивість можна застосовувати тільки при добутку чисел, при сумі воно не працює! І не можна забувати, що це і наступне властивості застосовуються тільки до ступенів з однаковими підставами.

4-та якість.

Якщо в знаменнику число зведено в негативний ступінь, то при відніманні ступінь знаменника береться до дужок для правильної заміни знака при подальших обчисленнях.

Властивість працює тільки при розподілі, при відніманні не застосовується!

5-та якість.

6-та якість.

Цю властивість можна застосувати і у зворотний бік. Одиниця поділена на число певною мірою є число в мінусовому ступені.

7-е якість.

Цю властивість не можна застосовувати до суми та різниці! При зведенні ступінь суми чи різниці використовуються формули скороченого множення, а чи не властивості ступеня.

8-е якість.

9-е якість.

Ця властивість працює для будь-якого дробового ступеня з чисельником, рівним одиниці, формула буде та ж, тільки ступінь кореня змінюватиметься в залежності від знаменника ступеня.

Також цю властивість часто використовують у зворотному порядку. Корінь будь-якого ступеня з числа можна уявити, як це число ступеня одиниця поділена на ступінь кореня. Ця властивість дуже корисна у випадках, якщо корінь із числа не вилучається.

10-ті властивості.

Ця властивість працює не тільки з квадратним коренемта другим ступенем. Якщо ступінь кореня і ступінь, у якому зводять цей корінь, збігаються, то відповіддю буде підкорене вираз.

11-та якість.

Цю властивість потрібно вміти вчасно побачити при рішенні, щоб позбавити себе величезних обчислень.

12-те властивість.

Кожна з цих властивостей неодноразово зустрінеться вам у завданнях, воно може бути дано у чистому вигляді, а може вимагати деяких перетворень та застосування інших формул. Тому для правильного рішення мало знати лише характеристики, необхідно практикуватися і підключати інші математичні знання.

Застосування ступенів та їх властивостей

Вони активно застосовуються в алгебрі та геометрії. Ступені в математиці мають окреме, важливе місце. З їх допомогою вирішуються показові рівняння та нерівності, а так само ступенями часто ускладнюють рівняння та приклади, що належать до інших розділів математики. Ступені допомагають уникнути великих та довгих розрахунків, ступеня легше скорочувати та обчислювати. Але для роботи з великими ступенями або зі ступенями великих чисел, потрібно знати як властивості ступеня, а грамотно працювати з підставами, вміти їх розкласти, щоб полегшити собі завдання. Для зручності слід знати ще й значення чисел, зведених у ступінь. Це скоротить ваш час під час вирішення, виключивши необхідність довгих обчислень.

Особливу роль поняття ступеня грає у логарифмах. Тому що логарифм, по суті, і є ступінь числа.

Формули скороченого множення – ще один приклад використання ступенів. Вони не можна застосовувати властивості ступенів, вони розкладаються за спеціальними правилами, але у кожній формулі скороченого множення незмінно присутні ступеня.

Так само ступеня активно використовуються у фізиці та інформатиці. Всі переклади в систему СІ виробляються за допомогою ступенів, а надалі при вирішенні завдань застосовуються властивості ступеня. В інформатиці активно використовуються ступені двійки, для зручності рахунку та спрощення сприйняття чисел. Подальші розрахунки з перекладів одиниць виміру чи розрахунки завдань, як і, як й у фізиці, відбуваються з допомогою властивостей ступеня.

Ще ступеня дуже корисні в астрономії, там рідко можна зустріти застосування властивостей ступеня, але самі ступеня активно використовуються для скорочення різних величин і відстаней.

Ступені застосовують і у звичайному житті, при розрахунках площ, обсягів, відстаней.

За допомогою ступенів записують дуже великі та дуже маленькі величини у будь-яких сферах науки.

Показові рівняння та нерівності

Особливе місце властивості ступеня посідають саме у показових рівняннях та нерівностях. Ці завдання дуже часто зустрічаються як у шкільному курсі, так і на іспитах. Усі вони вирішуються з допомогою застосування властивостей ступеня. Невідоме завжди знаходиться в самій мірі, тому знаючи всі властивості, вирішити таке рівняння чи нерівність не складе труднощів.

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a не дорівнює ні подвоєному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Збільшення ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Як множити ступеня? Які ступені можна перемножити, а які – ні? Як число помножити на ступінь?

В алгебрі знайти добуток ступенів можна у двох випадках:

1) якщо ступеня мають однакові підстави;

2) якщо ступеня мають однакові показники.

При множенні ступенів з однаковими основами треба основу залишити колишньою, а показники - скласти:

При множенні ступенів з однаковими показниками загальний показник можна винести за дужки:

Розглянемо, як множити ступені, на конкретних прикладах.

Одиницю у показнику ступеня не пишуть, але при множенні ступенів - враховують:

При множенні кількість ступенів може бути будь-якою. Слід пам'ятати, що перед буквою знак множення можна не писати:

У виразах зведення у ступінь виконується насамперед.

Якщо потрібно число помножити на ступінь, спочатку виконати зведення в ступінь, а вже потім - множення:

www.algebraclass.ru

Додавання, віднімання, множення і поділ ступенів

Складання та віднімання ступенів

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a 3 - b n і h 5 -d 4 є a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a не дорівнює ні подвоєному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Збільшення ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел (змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 - y 4 .
Помножте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Запис a 5 , поділеного на a 3 , виглядає як $\frac $. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $ frac = a ^ n $.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів у $\frac$ Відповідь: $\frac$.

2. Зменшіть показники ступенів у $\frac$. Відповідь: $\frac$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a — b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 — 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

Властивості ступеня

Нагадуємо, що в даному уроці розуміються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість №1
Добуток ступенів

При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n = a m + n , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Ця властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося лише про множення ступенів з однаковими підставами. Воно не відноситься до їх складання.

Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243

Властивість №2
Приватне ступенів

При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

Обчислити.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
приклад. Вирішити рівняння. Використовуємо властивість приватного ступеня.
3 8: t = 3 4

Відповідь: t = 3 4 = 81

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.

приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про поділ ступенів з однаковими основами.

Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Властивість №3
Зведення ступеня до ступеня

При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

(a n) m = a n · m, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують у зворотному порядку.

(a n · b n) = (a · b) n

Тобто, щоб перемножити ступені з однаковими показниками, можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.

У більш складних прикладахможуть зустрітися випадки, коли множення та розподіл треба виконати над ступенями з різними основами та різними показниками. У цьому випадку радимо чинити так.

Наприклад, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Приклад зведення у ступінь десяткового дробу.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Властивості 5
Ступінь приватного (дробі)

Щоб звести в ступінь приватне, можна звести в цей ступінь окремо поділений і дільник, і перший результат розділити на другий.

(a: b) n = a n: b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.

Нагадуємо, що приватне можна подати у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу до ступеня ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.

Ступені та коріння

Операції зі ступенями та корінням. Ступінь із негативним ,

нульовим та дробовим показником. Про висловлювання, які не мають сенсу.

Операції зі ступенями.

1. При множенні ступенів з однаковою основою їх показники складаються:

a m · a n = a m + n.

2. При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються .

3. Ступінь добутку двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників.

4. Ступінь відношення (дробі) дорівнює відношенню ступенів ділимого (числителя) та дільника (знаменника):

(a/b) n = a n / b n.

5. При зведенні ступеня до ступеня їх показники перемножуються:

Всі наведені вище формули читаються і виконуються в обох напрямках зліва направо і навпаки.

П р і м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операції з корінням. У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь(підкорене вираз позитивно).

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коренів ділимого та дільника:

3. При зведенні кореня до ступеня достатньо звести в цей ступінь підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в m разів і одночасно звести в m - ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в m разів і одночасно отримати корінь m -ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником; але дії зі ступенями та корінням можуть призводити також до негативним, нульовимі дробовимпоказниками. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.

Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника:

Тепер формула a m : a n = a m - nможе бути використана не тільки при mбільше, ніж n, але і при mменшим, ніж n .

П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Якщо ми хочемо, щоб формула a m : a n = a m — nбула справедлива за m = n, нам потрібне визначення нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

Приміри. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а:

Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

де a ≠ 0 , не існує.

Справді, якщо припустити, що x- деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0· x, Тобто. a= 0, що суперечить умові: a ≠ 0

— будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце при будь-якому числі x, що і потрібно було довести.

0 0 — будь-яке число.

Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:

1) x = 0 – це значення не задовольняє даному рівнянню

2) при x> 0 отримуємо: x/x= 1, тобто. 1 = 1, звідки слід,

що x- Будь-яке число; але беручи до уваги, що в

нашому випадку x> 0 , відповіддю є x > 0 ;

Правила множення ступенів з різною основою

СТУПЕНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ,

СТІПОВА ФУНКЦІЯ IV

§ 69. Множення та поділ ступенів з однаковими підставами

Теорема 1.Щоб перемножити ступеня з однаковими основами, достатньо показники ступенів скласти, а основу залишити тим самим, тобто

Доведення.За визначенням ступеня

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ми розглянули твір двох ступенів. Насправді доведена властивість правильна для будь-якого числа ступенів з однаковими підставами.

Теорема 2.Щоб розділити ступеня з однаковими підставами, коли показник ділимого більший за показник дільника, достатньо з показника ділимого відняти показник дільника, а підставу залишити колишнім, тобто при т > п

(a =/= 0)

Доведення.Нагадаємо, що часткою від розподілу одного числа на інше називається число, яке при множенні на дільник дає ділене. Тому довести формулу , де a =/= 0, це все одно, що довести формулу

Якщо т > п , то число т - п буде натуральним; отже, за теоремою 1

Теорему 2 доведено.

Слід звернути увагу, що формула

доведено нами лише у припущенні, що т > п . Тому з доведеного поки що не можна робити, наприклад, таких висновків:

До того ж ступеня з негативними показниками нами ще не розглядалися і ми поки що не знаємо, який сенс можна надати виразу. - 2 .

Теорема 3. Щоб звести ступінь у ступінь, достатньо перемножити показники, залишивши основу колишнім, тобто

Доведення.Використовуючи визначення ступеня та теорему 1 цього параграфа, отримуємо:

що і потрібно було довести.

Наприклад, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Усно) Визначити х з рівнянь:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (У с т н о.) Спростити:

520. (У с т н о.) Спростити:

521. Дані вирази подати у вигляді ступенів з однаковими підставами:

1) 32 та 64; 3) 8 5 і 16 3; 5) 4100 і 3250;

2) -1000 та 100; 4) -27 та -243; 6) 81 75 8 200 та 3 600 4 150 .