Концепція моменту імпульсу. Савельєв І.В

При розв'язанні задач на рух тіл у просторі часто використовують формули збереження кінетичної енергії та імпульсу. Виявляється, що аналогічні вирази існують і для тіл, що обертаються. У цій статті докладно розглядається закон збереження моменту імпульсу (відповідні формули також наводяться) і дається приклад вирішення задачі.

Процес обертання та момент імпульсу

Перед тим, як перейти до розгляду формули закону збереження моменту імпульсу, необхідно ознайомитися з цим фізичним поняттям. Найпростіше його можна запровадити, якщо скористатися малюнком нижче.

На малюнку видно, що на кінці вектора r, направленого від осі обертання і перпендикулярного їй, є деяка матеріальна точка масою m. Ця точка рухається по колу названого радіусу з лінійною швидкістю. З фізики відомо, що добуток маси на лінійну швидкість називається імпульсом (p). Тепер варто запровадити нову величину:

L? = r?m?v? = r?*p?.

Тут векторна величина L являє собою момент імпульсу. Щоб перейти до скалярної форми запису, необхідно знати модулі відповідних значень r і p і кут θ між ними. Скалярна формула для L має вигляд:

L = r * m * v * sin (θ) = r * p * sin (θ).

На малюнку вище кут θ є прямим, тому можна просто записати:

L = r * m * v = r * p.

З записаних виразів випливає, що одиницею вимірювання для L будуть кг*м 2 /с.

Напрямок вектора моменту імпульсу

Оскільки аналізована величина є вектором (результат векторного твору), вона матиме певний напрямок. З властивостей добутку двох векторів випливає, що їхній результат дасть третій вектор, перпендикулярний до площини, утвореної першими двома. При цьому він буде направлений таким чином, що якщо дивитися з його кінця, то тіло обертатиметься проти годинникової стрілки.

Результат застосування цього правила показано на малюнку у попередньому пункті. З нього видно, що L спрямований вгору, оскільки, якщо дивитися на тіло зверху, його рух відбуватиметься проти ходу стрілки годинника. При вирішенні завдань важливо враховувати напрямок під час переходу до скалярної форми запису. Так, розглянутий момент імпульсу вважається позитивним. Якби тіло оберталося за годинниковою стрілкою, тоді в скалярній формулі перед L слід поставити знак мінуса (-L).

Аналогія з лінійним імпульсом

Розглядаючи тему моменту імпульсу та закону його збереження, можна зробити один математичний трюк - перетворити вираз для L¯, помноживши і поділивши його на r 2. Тоді вийде:

L = r * m * v? * r 2 /r 2 = m * r 2 * v? / r.

У цьому вся вираженні ставлення швидкості до радіусу обертання називається кутової швидкістю. Вона зазвичай позначається буквою грецького алфавіту? Ця величина показує, скільки градусів (радіан) зробить поворот тіло по орбіті свого обертання за одиницю часу. У свою чергу, добуток маси на квадрат радіусу - це теж фізична величина, що має власну назву. Позначають її і називають моментом інерції.

У результаті формула моменту імпульсу перетворюється на таку форму записи:

L = I * ω, де ω = v / r і I = m * r 2 .

Вираз демонструє, що напрям моменту імпульсу L і кутової швидкості ω¯ збігаються для системи, що складається з матеріальної точки, що обертається. Особливий інтерес становить величина I. Нижче вона розглянута докладніше.

Момент інерції тіла

Введена величина I характеризує "опірність" тіла будь-якій зміні швидкості його обертання. Тобто вона грає таку саму роль, як і інерція тіла при лінійному переміщенні об'єкта. По суті I для кругового руху з фізичної точки зору означає те саме, що і маса при лінійному русі.

Як було показано, для матеріальної точки з масою m, що обертається навколо осі на відстані від неї r, момент інерції розрахувати просто (I = m*r 2), однак для будь-яких інших тіл цей розрахунок буде дещо складним, оскільки передбачає використання інтеграла.

Для тіла довільної форми I можна визначити за допомогою наступного виразу:

I = ∫ m (r 2 * dm) = ∫ V (r 2 * ρ * dV), де ρ - щільність матеріалу.

Вирази вище означають, що з обчислення моменту інерції слід розбити все тіло на нескінченно малі обсяги dV, помножити їх у квадрат відстані до осі обертання і щільність і підсумувати.

Для тіл різної форми це завдання вирішено. Нижче наведено дані для деяких із них.

Матеріальна точка: I = m*r 2 .

Диск чи циліндр: I = 1/2*m*r 2 .

Стрижень довжиною l, закріплений центром: I = 1/12*m*l 2 .

Куля: I = 2/5 * m * r 2 .

Момент інерції залежить від розподіленої маси тіла щодо осі обертання: що далі від осі перебуватиме більша частина маси, то більше буде I для системи.

Зміна моменту імпульсу у часі

Розглядаючи момент імпульсу та закон збереження моменту імпульсу у фізиці, можна вирішити просту проблему: визначити, як і за рахунок чого він змінюватиметься у часі. Для цього слід взяти похідну по dt:

dL / dt = d (r * m * v /) / dt = m * v / d / dt + r * m * dv / dt.

Перший доданок тут дорівнює нулю, оскільки dr/dt = v і добуток векторів v * v = 0 (sin(0) = 0). Друге ж доданок може бути переписано наступним чином:

dL/dt =r*m*a, де прискорення a = dv/dt, звідки:

dL/dt =r*F=M.

Величина M, згідно з визначенням, називається моментом сили. Вона характеризує дію сили F на матеріальну точку масою m, розташовану на відстані r від осі обертання.

Що показує набутий вираз? Воно демонструє, що зміна моменту імпульсу L можливо тільки за рахунок дії моменту сили M. Ця формула - закон збереження моменту імпульсу точки: якщо M = 0, то dL / dt = 0 і L є постійною величиною.

Які моменти сил можуть змінити системи?

Існує два види моментів сил M: зовнішні і внутрішні. Перші пов'язані з силовим впливом на елементи системи з боку будь-яких зовнішніх сил, другі виникають з допомогою взаємодії елементів системи.

Згідно з третім законом Ньютона, будь-якій силі дії відповідає спрямована протилежно сила протидії. Це означає, що сумарний будь-яких взаємодій усередині системи завжди дорівнює нулю, тобто він не може вплинути на зміни моменту імпульсу.

Величина L може змінитися тільки за рахунок зовнішніх моментів сил.

Формула закону збереження моменту імпульсу

Формула для запису виразу збереження величини L у випадку, якщо сума зовнішніх моментів сил дорівнює нулю, має такий вигляд:

I 1 * ω 1 = I 2 * ω 2 .

Будь-які зміни моменту інерції системи пропорційно відбиваються на зміні кутової швидкості таким чином, що добуток I * не змінює свого значення.

Вигляд цього виразу аналогічний закону збереження лінійного імпульсу (роль маси грає I, а роль швидкості -?). Якщо розвивати аналогію далі, то, крім цього виразу, можна записати ще одне, яке відображатиме збереження кінетичної енергії обертання:

E = I * (ω) 2/2 = const.

Застосування закону збереження моменту імпульсу знаходить себе у низці процесів та явищ, які коротко охарактеризовані нижче.

Приклади використання закону збереження величини L

Наступні приклади закону збереження моменту імпульсу мають значення для відповідних сфер діяльності.

• Будь-який вид спорту, де необхідно здійснювати стрибки із обертанням. Наприклад, балерина або спортсмен із фігурного катання починає виконання піруета з обертанням, розвівши широко руки і відсунувши ногу від центру тяжкості свого тіла. Потім він притискає ногу ближче до опорної руки ближче до тіла, зменшуючи тим самим момент інерції (більша частина точок тіла розташована близько до осі обертання). За законом збереження величини L повинна збільшитися його кутова швидкість обертання ω.

• Для зміни напряму орієнтації щодо Землі будь-якого штучного супутника. Виконується це так: супутник має спеціальний важкий "маховик", його рухає електромотор. Загальний момент імпульсу повинен зберігатися, тому сам супутник починає обертатися на протилежний бік. Коли він прийме потрібну орієнтацію у просторі, маховик зупиняють і супутник також перестає обертатися.
• Еволюція зірок. У міру того, як зірка спалює своє водневе паливо, сили гравітації починають переважати над тиском її плазми. Цей факт призводить до зменшення радіуса зірки до невеликих розмірів і, як наслідок, сильного збільшення швидкості обертання кутовий. Наприклад, встановлено, що нейтронні зірки, що мають діаметр кілька кілометрів, обертаються з гігантськими швидкостями, роблячи один оберт за частки мілісекунди.

Розв'язання задачі на закон збереження L

Вченими встановлено, що за кілька мільярдів років Сонце, вичерпавши енергетичні запаси, перетвориться на "білого карлика". Необхідно розрахувати, з якою швидкістю воно обертатиметься навколо осі.

Спочатку необхідно виписати значення необхідних величин, які можна взяти з літератури. Отже, зараз ця зірка має радіус 696 000 км і один оберт навколо своєї осі робить за 25,4 земних діб (значення для області екватора). Коли вона підійде до кінця свого еволюційного шляху, то стиснеться до розмірів 7000 км (порядку радіусу Землі).

Вважаючи, що Сонце - ідеальна куля, можна скористатися формулою закону збереження моменту імпульсу на вирішення цього завдання. Потрібно перевести добу за секунди та кілометри за метри, виходить:

L = I*ω = 2/5*m*r 1 2 *ω 1 = 2/5*m*r 2 2 *ω 2 .

Звідки слідує:

ω 2 = (r 1 /r 2) 2 * ω 1 = (696000000/7000000) 2 * 2 * 3,1416 / (25,4 * 24 * 3600) = 0,0283 рад / с.

Тут використовувалася формула для кутової швидкості ( = 2 * pi / T, де T - період обертання в секундах). При виконанні обчислень також було зроблено припущення, що маса Сонця залишається постійною (це не вірно, оскільки вона зменшуватиметься. Проте отримане значення ω 2 є нижньою межею, тобто насправді Сонце-карлик буде обертатися ще швидше).

Оскільки повний оборот - це 2*pi радіан, тоді вийде:

T 2 = 2 * pi / ω 2 = 222 с.

Тобто наприкінці свого життєвого циклу дана зірка робитиме один оберт навколо своєї осі швидше, ніж за 222 секунди.

(Кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, що залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена щодо осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання.

Момент імпульсу матеріальної точкищодо точки O визначається векторним твором
, де - Радіус-вектор, проведений з точки O, - імпульс матеріальної точки.
Момент імпульсу матеріальної точки щодо нерухомої осі дорівнює проекції цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного щодо довільної точки O даної осі. Значення моменту імпульсу залежить від положення точки O на осі z.

Момент імпульсу твердого тілащодо осі є сума моментів імпульсу окремих частинок, у тому числі складається тіло щодо осі. Враховуючи, що , отримаємо
.

Якщо сума моментів сил, що діють на тіло, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює нулю, момент імпульсу зберігається ( ) :
.

Похідна моменту імпульсу твердого тіла за часом дорівнює сумі моментів усіх сил, які діють тіло:
.

Закон збереження моменту імпульсу : момент імпульсу замкнутої системи тіл щодо будь-якої нерухомої точки не змінюєтьсяз плином часу.
Це один із фундаментальних законів природи.

Аналогічно для замкнутої системи тіл, що обертаються навколо осі z:

Звідси чи .

Якщо момент зовнішніх сил щодо нерухомої осі обертання тотожно дорівнює нулю, момент імпульсу щодо цієї осі не змінюється в процесі руху.
Момент імпульсу і незамкнутих систем постійний, якщо результуючий момент зовнішніх сил, прикладених до системи, дорівнює нулю.

Закон збереження моменту імпульсувипливає з основного рівняння динаміки обертального руху тіла, закріпленого в нерухомій точці (рівняння 4.8), і полягає в наступному:

Якщо результуючий момент зовнішніх сил щодо нерухомої точки тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла щодо цієї точки з часом не змінюється.

Справді, якщо M= 0, то dL/dt= 0, звідки

(4.14)

Іншими словами, момент імпульсу замкнутої системи з часом не змінюється.
З основного закону динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі z(Рівняння 4.13), слід закон збереження моменту імпульсу тіла щодо осі:

Якщо момент зовнішніх сил щодо нерухомої осі обертання тіла тотожно дорівнює нулю, момент імпульсу тіла щодо цієї осі не змінюється у процесі руху, тобто. якщо M z= 0, то dL z/dt= 0, звідки

Закон збереження моменту імпульсу є фундаментальним законом природи. Справедливість цього закону визначається властивістю симетрії простору - його ізотропністю, тобто. з інваріантністю фізичних законів щодо вибору спрямування осей координат системи відліку.

Зміна імпульсу матеріальної точки викликається на неї сили.

Помножуючи рівняння (1.7) зліва векторно на радіус-вектор , Отримуємо

Де вектор називаєтьсяМоментом імпульсу матеріальної точки , а вектор - Моментом сили. Зміна моменту імпульсу матеріальної точки викликається моментом сили, що діє на неї.

Декілька тіл, кожне з яких можна розглядати як матеріальну точку, складаютьСистему матеріальних точок. Для кожної матеріальної точки можна записати рівняння другого закону Ньютона

(1.13)

У рівнянні (1.13) індекси надають номер матеріальної точки. Чинні на матеріальну точку сили поділені на зовнішні та внутрішні. Зовнішні сили – цесили, що діють із боку тіл, які не входять до системи матеріальних точок. Внутрішні сили - цесили, що діють матеріальну точку з боку інших тіл, що становлять систему матеріальних точок. Тут - сила, що діє на матеріальну точку, індекс якої з боку матеріальної точки з номером.

З рівнянь (1.13) випливають кілька важливих законів. Якщо підсумуємо їх по всіх матеріальних точках системи, то отримаємо

(1.14) ,

Величина (1.15)

Називається Імпульсом системи матеріальних точок. Імпульс системи матеріальних точок дорівнює сумі імпульсів окремих матеріальних точок. У рівнянні (1.14) подвійна сума для внутрішніх сил звертається в нуль. Для кожної пари матеріальних точок до неї входять сили, які по третьому закону Ньютонарівні та протилежно спрямовані. Для кожної пари векторна сума цих сил перетворюється на нуль. Тому дорівнює нулю та сума для всіх сил.

В результаті отримаємо:

(1.16)

Рівняння (1.16) виражає закон зміни імпульсу системи матеріальних точок. Зміна імпульсу системи матеріальних точок викликається лише зовнішніми силами. Якщо систему не діють зовнішні сили, то імпульс системи матеріальних точок зберігається. Систему матеріальних точок, на яку не діють зовнішні сили, називають ізольованою, або замкнутою, системою матеріальних точок.

Аналогічним чином для кожної матеріальної точки записуються рівняння (1.8) моментів імпульсів

(1.17)

При підсумовуванні рівнянь (1.17) за всіма матеріальними точками системи матеріальних точок сума моментів внутрішніх сил звертається в нуль і виходить Закон зміни моменту імпульсу системи матеріальних точок:

(1.18)

Де введено позначення:- момент імпульсу системи матеріальних точок, - момент зовнішніх сил. Зміна моменту імпульсу системи матеріальних точок викликається зовнішніми силами, що діють на систему. Для замкнутої системи матеріальних точок момент імпульсу зберігається

.

Вектор, рівний векторного твору радіус-вектора на силу,
називається моментом сили.

Аналогічно моменту сили визначається момент імпульсу (момент кількості руху) матеріальної точки. Момент імпульсу щодо точки Про дорівнює

Моментом імпульсу щодо осі z називається складова Lzпо цій осі моменту імпульсу L щодо точки О, що лежить на осі (рис. 97):

де R - складова радіуса-вектора r , перпендикулярна до осі z , а p - складова вектора р, перпендикулярна до площини, що проходить через вісь z і точку m .

З'ясуємо, чим визначається зміна моменту імпульсу з часом. Для цього продиференціюємо (37.1) за часом t, скориставшись правилом диференціювання твору:

Перше доданок дорівнює нулю, так як воно є векторним твіром векторів однакового напрямку. Справді, вектор дорівнює вектору швидкості v і, отже, збігається з вектором р=mv. Вектор за другим законом Ньютона дорівнює силі f, що діє на тіло [див. (22.3)]. Отже, вираз (37.5) можна написати так:

де М - момент прикладених до матеріальної точки сил, взятий щодо тієї ж точки, щодо якої береться момент імпульсу L.

Зі співвідношення (37.6) випливає, що якщо результуючий момент діючих на матеріальну точку сил щодо будь-якої точки Про дорівнює нулю, то момент імпульсу матеріальної точки, взятий щодо тієї ж точки Про залишатиметься постійним.

Взявши складові по осі z від векторів, що входять у формулу (37.6), отримаємо вираз:

Формула (37.6) схожа на формулу (22.3). З порівняння цих формул випливає, що подібно до того, як похідна за часом від імпульсу дорівнює силі, що діє на матеріальну точку, похідна за часом від моменту імпульсу дорівнює моменту сили.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Нехай матеріальна точка m рухається вздовж пунктирної прямої на рис.96. Оскільки рух прямолінійний, імпульс матеріальної точки змінюється лише за модулем, причому

де f - модуль сили [в даному випадку f має такий самий напрямок, як р (див. рис. 96), так що ].

Плечо t залишається постійним. Отже,

що узгоджується з формулою (37.6) (в даному випадку L змінюється тільки за модулем, причому збільшується, тому).

Приклад 2. Матеріальна точка маси m рухається коло радіуса R (рис. 98).

Момент імпульсу матеріальної точки щодо центру кола Про дорівнює модулю:

Вектор L перпендикулярний до площини кола, причому напрямок руху точки і вектор L утворюють правовинтову систему.

Оскільки плече, що дорівнює R, залишається постійним, момент імпульсу може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості. При рівномірному русі матеріальної точки по колу момент імпульсу залишається незмінним і за величиною і за напрямом. Легко збагнути, що у разі момент сили, що діє матеріальну точку, дорівнює нулю.

Приклад 3. Розглянемо рух матеріальної точки у центральному полі сил (див. § 26). Відповідно до (37.6) момент імпульсу матеріальної точки, взятий щодо центру сил, повинен залишатися постійним за величиною та напрямком (момент центральної сили щодо центру дорівнює нулю). Радіус-вектор r проведений з центру сил в точку m вектор L перпендикулярні один до одного. Тому вектор r залишається весь час в одній і тій же площині, перпендикулярній до напрямку L. Отже, рух матеріальної точки в центральному полі сил відбуватиметься по кривій, що лежить у площині, що проходить через центр сил.

Залежно від знака центральних сил (тобто від того, є вони силами тяжіння або відштовхування), а також від початкових умов траєкторія є гіперболою, параболою або еліпсом (зокрема, коло). Наприклад, Земля рухається еліптичною орбітою, в одному з фокусів якої міститься Сонце.

Закон збереження моменту імпульсу. Розглянемо систему із N матеріальних точок. Подібно до того, як це робилося в §23, розіб'ємо сили, що діють на точки, на внутрішні та зовнішні. Результуючий момент внутрішніх сил, що діють на i-ю матеріальнуточку, позначимо символом , що результує момент зовнішніх сил, що діють на ту саму точку, - символом М i . Тоді рівняння (37.6) для i-ї матеріальноїточки буде мати вигляд:

(i=1, 2,…, N)

Це вираз являє собою сукупність N рівнянь, що відрізняються один від одного значеннями індексу i. Склавши ці рівняння, отримаємо:

називається моментом імпульсу системи матеріальних точок.

Сума моментів внутрішніх сил [перша із сум у правій частині формули (37.9)], як було показано в кінці §36, дорівнює нулю. Отже, позначивши сумарний момент зовнішніх сил символом М можна написати, що

[У символи L і М у цій формулі вкладено інший зміст, ніж у такі ж символи у формулі (37.6)].

Для замкнутої системи матеріальних точок М=0, унаслідок чого сумарний момент імпульсу L залежить від часу. Таким чином, ми дійшли закону збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи матеріальних точок залишається постійним.

Зазначимо, що момент імпульсу залишається постійним й у системи, що піддається зовнішнім впливам, за умови, що сумарний момент зовнішніх сил, що діють тіла системи, дорівнює нулю.

Взявши від векторів, що стоять у лівій та правій частинах рівняння (37.11), їх складові по осі z прийдемо до співвідношення:

Може статися, що результуючий момент зовнішніх сил щодо точки Про відмінний від нуля (М 0), однак дорівнює нулю складова М z вектора М по деякому напрямку z . Тоді згідно (37.12) зберігатиметься складова L z моменту імпульсу системи по осі z .

Відповідно до формули (2.1 1)

де проекція на вісь z вектора , а L z - проекція на вісь z вектора L . Помножимо обидві частини рівності на орт e zосі z і, врахувавши, що e zвід t залежить, внесемо їх у правій частині під знак похідної. В результаті отримаємо:

Але добуток e z на проекцію вектора на вісь z дає складову цього вектора осі z (див. виноску на стор. 132). Отже,

де - складова по осі zвектора.

Момент імпульсу у класичній механіці

Зв'язок між імпульсом та моментом

Визначення

Момент імпульсу частки щодо деякого початку відліку визначається векторним твором її радіус-вектора та імпульсу:

де - радіус-вектор частки щодо обраного нерухомого в даній системі відліку початку відліку - імпульс частинки.

Для декількох частинок момент імпульсу визначається як (векторна) сума таких членів:

де - радіус-вектор та імпульс кожної частки, що входить до системи, момент імпульсу якої визначається.

(У межі кількість частинок може бути нескінченною, наприклад, у разі твердого тіла з безперервно розподіленою масою або взагалі розподіленої системи це може бути записано як де - імпульс нескінченно малого точкового елемента системи).

З визначення моменту імпульсу випливає його адитивність : як для системи частинок зокрема, так і для системи, що складається з декількох підсистем, виконується:

• Зауваження: в принципі момент імпульсу може бути обчислений щодо будь-якого початку відліку (при цьому вийшло різні значенняпов'язані очевидним чином); проте найчастіше (для зручності та визначеності) його обчислюють щодо центру мас або закріпленої точки обертання твердого тіла тощо).

Обчислення моменту

Так як момент імпульсу визначається векторним твором, він є псевдовектором, перпендикулярним до обох векторів і. Однак, у випадках обертання навколо незмінної осі, буває зручно розглядати не момент імпульсу як псевдовектор, яке проекцію на вісь обертання як скаляр , знак якого залежить від напрямку обертання. Якщо вибрано таку вісь, яка проходить через початок відліку, для обчислення проекції кутового моменту на неї можна вказати ряд рецептів відповідно до загальними правиламизнаходження векторного твору двох векторів.

де - кут між і , що визначається так, щоб поворот від проводився проти годинникової стрілки з точки зору спостерігача, що знаходиться на позитивній частині осі обертання. Напрямок повороту важливий при обчисленні, оскільки визначає знак шуканої проекції.

Запишемо у вигляді де - складова радіус-вектора, паралельна вектору імпульсу, а - аналогічно, перпендикулярна йому. є, по суті, відстанню від осі обертання до вектора, яку зазвичай називають «плечем». Аналогічно можна розділити вектор імпульсу на дві складові: паралельну радіус-вектору та перпендикулярну йому. Тепер, використовуючи лінійність векторного твору, а також властивість, згідно з яким добуток паралельних векторів дорівнює нулю, можна отримати ще два вирази для .

Збереження кутового моменту

Таким чином, вимога замкнутості системи може бути ослаблена до вимоги рівності нулю головного (сумарного) моменту зовнішніх сил:

де - момент однієї з сил, що додаються до системи частинок. (Але звичайно, якщо зовнішні сили взагалі відсутні, ця вимога також виконується).

Математично закон збереження моменту імпульсу випливає з ізотропії простору, тобто з інваріантності простору по відношенню до повороту на довільний кут. При повороті на довільний нескінченно малий кут радіус-вектор частки з номером зміняться на , а швидкості - . Функція Лагранжа системи за такого повороту не зміниться, внаслідок ізотропії простору. Тому

З урахуванням , де - узагальнений імпульс тієї частки, кожне доданок у сумі з останнього виразу можна переписати у вигляді

Тепер, користуючись властивістю змішаного твору, зробимо циклічну перестановку векторів, в результаті чого отримаємо, виносячи спільний множник:

де - момент імпульсу системи. Зважаючи на довільність, з рівності випливає.

На орбітах момент імпульсу розподіляється між власним обертанням планети та моменту імпульсу її орбітального руху:

Момент імпульсу в електродинаміці

При описі руху зарядженої частинки в електромагнітному полі канонічний імпульс не є інваріантним. Як наслідок, канонічний момент імпульсу теж інваріантний. Тоді беремо реальний імпульс, який також називається «кінетичним імпульсом»:

де - електричний заряд, - швидкість світла, - векторний потенціал. Таким чином, гамільтоніан (інваріантний) зарядженої частинки маси в електромагнітному полі:

де - скалярний потенціал. З цього потенціалу випливає закон Лоренца. Інваріантний момент імпульсу чи «кінетичний момент імпульсу» визначається:

Момент імпульсу у квантовій механіці

Оператор моменту

Обчислення моменту імпульсу у нерелятивістській механіці

Якщо є матеріальна точка масою , що рухається зі швидкістю і що знаходиться в точці, що описується радіус-вектором , то момент імпульсу обчислюється за формулою:

де - знак векторного твору.

Щоб розрахувати момент імпульсу тіла, його треба розбити на нескінченно малі шматочки і векторнопідсумувати їх моменти як моменти імпульсу матеріальних точок, тобто взяти інтеграл:

Можна переписати це через щільність:

Момент імпульсу матеріальної точкищодо точки O визначається векторним твором
де - радіус-вектор, проведений з точки O, - імпульс матеріальної точки.
Момент імпульсу матеріальної точки щодо нерухомої осі дорівнює проекції цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного щодо довільної точки O даної осі. Значення моменту імпульсу залежить від положення точки O на осі z.

Момент імпульсу твердого тілащодо осі є сума моментів імпульсу окремих частинок, у тому числі складається тіло щодо осі. Враховуючи, що , отримаємо
.

Якщо сума моментів сил, що діють на тіло, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює нулю, момент імпульсу зберігається ( закон збереження моменту імпульсу):
.

Похідна моменту імпульсу твердого тіла за часом дорівнює сумі моментів усіх сил, які діють тіло:
.

Векторний добуток радіуса-вектора матеріальної точки на її імпульс: називають моментом імпульсу цієї точки щодо точки О (рис.5.4)

Вектор іноді називають моментом кількості руху матеріальної точки. Він спрямований уздовж осі обертання перпендикулярно площині, проведеної через вектори і утворює з ними праву трійку векторів (при спостереженні з вершини вектора видно, що обертання по найкоротшій відстані від відбувається проти годинникової стрілки).

Векторну суму моментів імпульсів усіх матеріальних точок системи називають моментом імпульсу (кількості руху) системи щодо точки О:

Вектори взаємно перпендикулярні і лежать у площині перпендикулярної осі обертання тіла. Тому. З урахуванням зв'язку лінійних та кутових величин

і спрямований вздовж осі обертання тіла у той самий бік, як і вектор .

Таким чином.

Момент імпульсу тіла щодо осі обертання

Отже, момент імпульсу тіла щодо осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла щодо тієї ж осі на кутову швидкість обертання тіла навколо цієї осі.

Питання №16

Три основні закони руху тел:

1-й закон. Будь-яке тіло зберігає свій стан спокою або рівномірного і

прямолінійного руху, поки і оскільки прикладені сили не змусять його

змінити цей стан. Цей закон називається законом інерції. Якщо m – маса

тіла, а v - його швидкість, то закон інерції математично можна представити в

наступному вигляді:

Якщо v = 0, тіло перебуває у спокої; якщо v = const, тіло рухається

рівномірно та прямолінійно. Добуток mv називається кількістю руху тіла.

Зміна кількості руху тіла може статися лише внаслідок його

взаємодії коїться з іншими тілами, тобто. під впливом сили.

2-й закон. Зміна кількості руху пропорційно доданої рушійної

силі і відбувається за напрямом тієї прямої, якою ця сила діє.

Другий закон математично записується так: F = mа

т. е. добуток маси тіла m на його прискорення а так само діючою силою F.

Рівняння (2.14) називається основним законом динаміки матеріальної точки.

3-й закон. Дія завжди викликає однакову та протилежну протидію.

Іншими словами, впливи двох тіл один на одного завжди рівні і спрямовані в

протилежні сторони.

Якщо якесь тіло з масою т1 взаємодіє з іншим тілом з масою m2 ,

то перше тіло змінює кількість руху другого тіла m2v2

зазнає від нього такої ж зміни своєї кількості руху m1v1 , але

лише назад спрямоване, тобто.

I закон Ньютона

Існують такі системи відліку, які називаються інерційними, щодо яких тіла зберігають свою швидкість незмінною, якщо на них не діють інші тіла або дія інших сил компенсована.

II закон Ньютона

Прискорення тіла прямопропорційно рівнодіючої сил, прикладених до тіла, і обернено пропорційно його масі:

III закон Ньютона

Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і протилежні у напрямку.

Запитання №17

теорема зміни імпульсу-зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.

Теорема руху центру мас

система складається з n точок, з відповідними масами .

Запишемо для кожної точки основний закон динаміки

Ця система диференціальних рівнянь руху системи, тому що для будь-якої точки k системи

p align="justify"> Проектуючи рівняння (16.1.1) на координатні осі отримаємо Зn рівнянь, які в загальному випадку проінтегрувати важко,

Тому зазвичай застосовують загальні теореми динаміки, для яких рівняння (16.1.1) є вихідними.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи: у диференціальній формі: dT = , , – елементарні роботи, що діють на точку зовнішніх та внутрішніх сил, у кінцевій формі:

Т 2 - Т 1 = . Для незмінної системи та Т 2 – Т 1 = , тобто. зміна кінетичної енергії твердого тіла на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх сил, які діють тіло цьому переміщенні. Якщо сума робіт реакцій зв'язків на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю, такі зв'язки називаються ідеальними. Коефіцієнт корисної дії(ККД):< 1, А пол.сопр. – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А затр = А пол.сопр. + А вр.сопр. – затраченная работа, А вр.сопр. -– работа шкідливих силопору (сили тертя, опору повітря тощо).

h = N маш / N дв, N маш - корисна потужність машини, N дв - потужність дв-ля, що приводить її в рух.

Запитання №18

Перетворення Галілея є граничним (приватним) випадком перетворень Лоренца для швидкостей, малих у порівнянні зі швидкістю світла в порожнечі та обмеженому обсязі простору. Для швидкостей аж до порядку швидкостей руху планет Сонячної системи(і навіть більших), перетворення Галілея приблизно вірні з дуже великою точністю.

Якщо ISO (інерційна система відліку) Sрухається щодо ІСО S"з постійною швидкістю вздовж осі , а початку координат збігаються в початковий момент часу в обох системах, то перетворення Галілея мають вигляд:

або, використовуючи векторні позначення,

(Остання формула залишається вірною для будь-якого напрямку осей координат).

§ Як бачимо, це просто формули для зсуву початку координат, що лінійно залежить від часу (мається на увазі однаковим для всіх систем відліку).

З цих перетворень випливають співвідношення між швидкостями руху крапки та її прискореннями в обох системах відліку:

§ Перетворення Галілея є граничним (приватним) випадком перетворень Лоренца для малих швидкостей (багато менше за швидкість світла).

світовий ефір

Понад сто років тому з'явилася гіпотеза абсолютно нерухомого простору – світового ефіру. Ефір визначався як якесь однорідне середовище, що повністю заповнює всю речовину і вакуум. За це його назвали "світовим ефіром". Що являє собою дана субстанція і які його властивості - загадка, але було відомо, що світло рухається в ефірі так само, як звук у повітрі. Тобто як хвилі. Світло розглядалося як коливання світового ефіру. Було також декларовано, що речовина рухається крізь ефір не викликаючи його обурення, так само, як тонка сітка з великими осередками рухається всередині води. Таким чином речовина та ефір суворо розмежовувалися.

Майкельсон досвід

Майкельсонопит,досвід, поставлений вперше А. Майкельсоном у 1881 р. з метою вимірювання впливу руху Землі на швидкість світла. Негативний результат М. о. був одним із основних експериментальних фактів, що лягли в основу відносності теорії.

У фізиці кінця 19 століття передбачалося, що світло розповсюджується в деякому універсальному світовому середовищі-ефірі. При цьому ряд явищ (аберація світла, Фізо досвід) приводив до висновку, що ефір нерухомий або частково захоплюється тілами під час їхнього руху. Згідно з гіпотезою нерухомого ефіру, можна спостерігати "ефірний вітер" при русі Землі крізь ефір і швидкість світла по відношенню до Землі повинна залежати від напрямку світлового променя щодо напряму її руху в ефірі.

М. о. проводився за допомогою інтерферометра Майкельсона з рівними плечима; одне плече прямувало рухом Землі, інше - перпендикулярно до нього. При повороті всього приладу на 90° різниця ходу променів повинна міняти знак, внаслідок чого зміщується інтерференційна картина. Розрахунок показує, що таке усунення, виражене в частках ширини інтерференційної смуги, дорівнює D = ( 2l/l)(v 2 / c 2), де l - Довжина плеча інтерферометра, l - Довжина хвилі застосовуваного світла (жовта лінія Na), з - швидкість світла в ефірі, v - Орбітальна швидкість Землі. Оскільки величина v/c для орбітального руху Землі порядку 10 -4 , то зміщення, що очікувалося, дуже мало і в першому М. о. становило лише 0,04. Проте, вже на основі цього досвіду Майкельсон прийшов до переконання про невірність гіпотези нерухомого ефіру.

Надалі М. о. неодноразово повторювався. У дослідах Майкельсона та Е. У. Морлі (1885-87) інтерферометр встановлювався на масивній плиті, що плавала у ртуті (для плавного обертання). Оптична довжина шляху за допомогою багаторазових відбиття від дзеркал була доведена до 11 м.Вимірювання підтвердили негативний результат М. о. У 1958 в Колумбійському університеті (США) було ще раз продемонстровано відсутність нерухомого ефіру. Пучки випромінювання двох однакових квантових генераторів мікрохвиль (мазерів) прямували в протилежні сторони - по руху Землі і проти руху - і порівнювалися їх частоти.З величезною точністю (~10 -9 %) було встановлено, що частоти залишаються однаковими, тоді як "ефірний вітер" призвів би до появи відмінності цих частот на величину, майже 500 разів перевищує точність вимірів.

У класичній фізиці негативний результат М. о. не міг бути зрозумілий і узгоджений з іншими явищами електродинаміки середовищ, що рухаються. Теоретично відносності сталість швидкості світла всім инерциальных систем відліку сприймається як постулат, що підтверджується великою сукупністю експериментів.

Постулати теорії відносності

1)Всі закони природи однакові в інерційних системах відліку

2)Швидкість світла у вакуумі однакова у всіх інерційних системах відліку

Лоренца перетворення, у спеціальній теорії відносності - перетворення координат та часу будь-якої події при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої. Отримані в 1904 Х. А. Лоренцом як перетворення, стосовно яких рівняння класичної мікроскопічної електродинаміки (Лоренця - Максвелла рівняння) зберігають свій вигляд. У 1905 А. Ейнштейн вивів їх, виходячи з двох постулатів, що склали основу спеціальної теорії відносності: рівноправності всіх інерційних систем відліку та незалежності швидкості поширення світла у вакуумі від руху джерела світла.

Розглянемо окремий випадок двох інерційних систем відліку å і å' з осями х і x', що лежать на одній прямій, і паралельними іншими осями (у і y', z і z'). Якщо система «рухається щодо» з постійною швидкістю u в напрямку осі х, то Л. п. при переході від «як» мають вигляд:

,

де з- швидкість світла у вакуумі (штриховані координати відносяться до системи ', нештриховані - до ').

Л. п. призводять до ряду важливих наслідків, у тому числі до залежності лінійних розмірів тіл і проміжків часу від обраної системи відліку, до закону складання швидкостей у теорії відносності та ін. При швидкостях руху, малих у порівнянні зі швидкістю світла<<c), Л. п. переходять у перетворення Галілея (див. Галілея принцип відносності) , справедливі у класичній механіці Ньютона

Подібна інформація.