Leņķiskā impulsa jēdziens. Saveljevs I.V.

Risinot problēmas par ķermeņu kustību telpā, bieži tiek izmantotas formulas kinētiskās enerģijas un impulsa saglabāšanai. Izrādās, ka līdzīgi izteicieni pastāv rotējošiem ķermeņiem. Šajā rakstā ir detalizēti apskatīts leņķiskā impulsa saglabāšanas likums (tiek dotas arī atbilstošās formulas) un dots problēmas risināšanas piemērs.

Rotācijas process un leņķiskais impulss

Pirms turpināt izskatīt leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma formulu, ir jāiepazīstas ar šo fizisko jēdzienu. Vienkāršākais veids, kā to ievadīt, ir izmantot tālāk redzamo attēlu.

Attēlā redzams, ka vektora r¯ galā, kas vērsts no rotācijas ass un perpendikulāri tai, atrodas kāds materiālais punkts ar masu m. Šis punkts pārvietojas pa apli ar nosaukto rādiusu ar lineāro ātrumu v¯. No fizikas ir zināms, ka masas un lineārā ātruma reizinājumu sauc par impulsu (p¯). Tagad ir pienācis laiks ievadīt jaunu vērtību:

L¯ = r¯*m*v¯ = r¯*p¯.

Šeit vektora lielums L¯ apzīmē leņķisko impulsu. Lai pārslēgtos uz skalāro apzīmējumu, ir jāzina atbilstošo r¯ un p¯ vērtību moduļi, kā arī leņķis θ starp tiem. L skalārā formula ir:

L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).

Iepriekš redzamajā attēlā leņķis θ ir taisns leņķis, tāpēc varat vienkārši ierakstīt:

L = r*m*v = r*p.

No rakstītajiem izteicieniem izriet, ka L mērvienība būs kg * m 2 / s.

Leņķiskā impulsa vektora virziens

Tā kā attiecīgā vērtība ir vektors (krustreizinājuma rezultāts), tai būs noteikts virziens. No divu vektoru reizinājuma īpašībām izriet, ka to rezultāts dos trešo vektoru, kas ir perpendikulārs plaknei, ko veido pirmie divi. Tajā pašā laikā tas tiks virzīts tā, ka, skatoties no tā gala, korpuss griezīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Šī noteikuma piemērošanas rezultāts ir parādīts attēlā iepriekšējā punktā. Tas parāda, ka L¯ ir vērsts uz augšu, jo, ja paskatās uz ķermeni no augšas, tā kustība notiks pret pulksteni. Risinot problēmas, ir svarīgi ņemt vērā virzienu, pārejot uz skalāro apzīmējumu. Tādējādi aplūkotais leņķiskais impulss tiek uzskatīts par pozitīvu. Ja ķermenis griezās pulksteņrādītāja virzienā, tad skalārajā formulā pirms L bija jābūt mīnusa zīmei (-L).

Lineārā impulsa analoģija

Ņemot vērā leņķiskā impulsa tēmu un tā saglabāšanas likumu, var izdarīt vienu matemātisku triku - pārveidot izteiksmi L¯, reizinot un dalot ar r 2. Tad jūs saņemsiet:

L¯ = r*m*v¯*r 2 /r 2 = m*r 2 *v¯/r.

Šajā izteiksmē ātruma attiecību pret griešanās rādiusu sauc par leņķisko ātrumu. Parasti to apzīmē ar grieķu alfabēta burtu ω. Šī vērtība parāda, cik grādus (radiānos) ķermenis pagriezīsies pa savu rotācijas orbītu laika vienībā. Savukārt masas reizinājums ar rādiusa kvadrātu arī ir fizikāls lielums, kam ir savs nosaukums. Apzīmējiet to I un sauciet par inerces momentu.

Rezultātā leņķiskā impulsa formula tiek pārveidota šādā rakstīšanas formā:

L¯ = I *ω¯, kur ω¯= v¯/r un I=m*r 2 .

Izteiksme parāda, ka leņķiskā impulsa virziens L¯ un leņķiskā ātruma ω¯ virziens sakrīt sistēmai, kas sastāv no rotējoša materiāla punkta. Īpaši interesants ir daudzums I. Tas ir sīkāk aplūkots tālāk.

ķermeņa inerces moments

Ieviestā vērtība I raksturo ķermeņa "pretestību" pret jebkādām tā griešanās ātruma izmaiņām. Tas ir, tam ir tieši tāda pati loma kā ķermeņa inercei objekta lineārās kustības laikā. Faktiski I apļveida kustībai no fiziskā viedokļa nozīmē to pašu, ko masa lineārā kustībā.

Kā parādīts, materiālam punktam ar masu m, kas rotē ap asi attālumā r no tā, ir viegli aprēķināt inerces momentu (I = m * r 2), bet jebkuram citam ķermenim šis aprēķins. būs nedaudz sarežģīts, jo tas ietver integrāļa izmantošanu.

Patvaļīgas formas ķermenim mani var noteikt, izmantojot šādu izteiksmi:

I = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ V (r 2 *ρ*dV), kur ρ ir materiāla blīvums.

Iepriekš minētie izteicieni nozīmē, ka, lai aprēķinātu inerces momentu, viss ķermenis jāsadala bezgalīgi mazos tilpumos dV, kas jāreizina ar attāluma līdz rotācijas asi kvadrātu un blīvumu un jāsaskaita.

Dažādu formu korpusiem šī problēma ir atrisināta. Tālāk ir sniegti dati par dažiem no tiem.

Materiāla punkts: I = m*r 2 .

Disks vai cilindrs: I \u003d 1/2 * m * r 2.

Stienis ar garumu l, fiksēts centrā: I \u003d 1/12 * m * l 2.

Bumba: I \u003d 2/5 * m * r 2.

Inerces moments ir atkarīgs no ķermeņa sadalītās masas attiecībā pret griešanās asi: jo tālāk no ass atrodas liela masas daļa, jo lielāka būs I sistēmai.

Leņķiskā impulsa maiņa laikā

Ņemot vērā leņķisko impulsu un leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu fizikā, var atrisināt vienkāršu uzdevumu: noteikt, kā un kā dēļ tas laika gaitā mainīsies. Lai to izdarītu, ņem atvasinājumu attiecībā pret dt:

dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.

Pirmais termins šeit ir vienāds ar nulli, jo dr¯/dt = v¯ un vektoru reizinājums v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). Otro terminu var pārrakstīt šādi:

dL¯/dt =r*m*a¯, kur paātrinājums a = dv¯/dt, no kurienes:

dL¯/dt =r*F¯=M¯.

Lielumu M¯ saskaņā ar definīciju sauc par spēka momentu. Tas raksturo spēka F¯ iedarbību uz materiāla punktu ar masu m, kas atrodas attālumā r no rotācijas ass.

Ko parāda iegūtā izteiksme? Tas parāda, ka leņķiskā impulsa L¯ izmaiņas ir iespējamas tikai spēka momenta M¯ darbības rezultātā. Šī formula ir punkta leņķiskā impulsa saglabāšanas likums: ja M¯=0, tad dL¯/dt = 0 un L¯ ir nemainīga vērtība.

Kādi spēku momenti var mainīt sistēmas L¯?

Ir divu veidu spēka momenti M¯: ārējie un iekšējie. Pirmie ir saistīti ar jebkādu ārējo spēku spēku ietekmi uz sistēmas elementiem, savukārt pēdējie rodas sistēmas daļu mijiedarbības dēļ.

Saskaņā ar Ņūtona trešo likumu katram darbības spēkam ir pretējs reakcijas spēks. Tas nozīmē, ka visu mijiedarbību summa sistēmā vienmēr ir vienāda ar nulli, tas ir, tas nevar ietekmēt leņķiskā impulsa izmaiņas.

L¯ vērtība var mainīties tikai ārējo spēku momentu ietekmē.

Leņķiskā impulsa saglabāšanās likuma formula

Formulai vērtības L¯ saglabāšanas izteiksmes rakstīšanai gadījumā, ja ārējo spēku momentu summa ir vienāda ar nulli, ir šāda forma:

I 1 *ω 1 = I 2 *ω 2 .

Jebkuras sistēmas inerces momenta izmaiņas proporcionāli atspoguļojas leņķiskā ātruma izmaiņās tā, ka reizinājums I * ω nemaina savu vērtību.

Šīs izteiksmes forma ir līdzīga lineārā impulsa saglabāšanas likumam (I spēlē masas lomu, un ω spēlē ātruma lomu). Ja mēs attīstām analoģiju tālāk, tad papildus šai izteiksmei mēs varam uzrakstīt vēl vienu, kas atspoguļos rotācijas kinētiskās enerģijas saglabāšanu:

E = I *(ω) 2 /2 = konst.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma pielietošana notiek vairākos procesos un parādībās, kas īsi aprakstīti turpmāk.

Lieluma L¯ saglabāšanās likuma izmantošanas piemēri

Sekojošie leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma piemēri ir svarīgi to attiecīgajām darbības jomām.

• Jebkurš sporta veids, kur nepieciešams veikt lēcienus ar rotāciju. Piemēram, balerīna vai daiļslidotāja sāk griezties pirueti, plaši izplešot rokas un virzot kāju prom no ķermeņa smaguma centra. Pēc tam viņš piespiež kāju tuvāk atbalstošajai un rokas tuvāk ķermenim, tādējādi samazinot inerces momentu (lielākā daļa ķermeņa punktu atrodas tuvu griešanās asij). Saskaņā ar vērtības L saglabāšanas likumu tās griešanās leņķiskajam ātrumam ω jāpalielinās.

• Lai mainītu orientācijas virzienu attiecībā pret Zemi jebkura mākslīgais pavadonis. Tas tiek darīts šādi: satelītam ir īpašs smags "spararats", to darbina elektromotors. Kopējais leņķiskais impulss ir jāsaglabā, tāpēc pats satelīts sāk griezties pretējā virzienā. Kad tas ieņem vēlamo orientāciju kosmosā, spararats tiek apturēts, un satelīts arī pārstāj griezties.
• Zvaigžņu evolūcija. Zvaigznei sadedzinot ūdeņraža degvielu, gravitācijas spēki sāk dominēt pār tās plazmas spiedienu. Šis fakts noved pie zvaigznes rādiusa samazināšanās līdz mazam izmēram un līdz ar to spēcīgam leņķiskā rotācijas ātruma pieaugumam. Piemēram, ir noskaidrots, ka neitronu zvaigznes ar vairāku kilometru diametru griežas milzīgā ātrumā, veicot vienu apgriezienu milisekundes daļā.

Problēmas risinājums par saglabāšanas likumu L¯

Zinātnieki konstatējuši, ka pēc dažiem miljardiem gadu Saule, izsmēlusi savas enerģijas rezerves, pārvērtīsies par "balto punduri". Ir jāaprēķina, ar kādu ātrumu tas griezīsies ap asi.

Vispirms jums ir jāizraksta nepieciešamo daudzumu vērtības, kuras var ņemt no literatūras. Tātad tagad šīs zvaigznes rādiuss ir 696 000 km, un tā veic vienu apgriezienu ap savu asi 25,4 Zemes dienās (vērtība ekvatoriālajam reģionam). Kad runa ir par sava evolūcijas ceļa beigām, tā saruks līdz 7000 km izmēram (apmēram Zemes rādiusā).

Pieņemot, ka Saule ir ideāla bumba, mēs varam izmantot leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma formulu, lai atrisinātu šo problēmu. Jums ir jāpārvērš dienas sekundēs un kilometri metros, izrādās:

L = I * ω = 2/5 * m * r 1 2 * ω 1 = 2/5 * m * r 2 2 * ω 2 .

No kurienes tas nāk:

ω 2 \u003d (r 1 / r 2) 2 * ω 1 \u003d (696000000 / 7000000) 2 * 2 * 3,1416 / (25,4 * 24 * 3600) \u003d 3 rad. 0.0.

Šeit tika izmantota leņķiskā ātruma formula (ω = 2*pi/T, kur T ir griešanās periods sekundēs). Veicot aprēķinus, tika arī pieņemts, ka Saules masa paliek nemainīga (tas nav taisnība, jo tā samazināsies. Tomēr iegūtā vērtība ω 2 ir apakšējā robeža, tas ir, īstenībā pundura Saule griezīsies vēl ātrāk).

Tā kā pilns pagrieziens ir 2*pi radiāni, tad jūs iegūstat:

T 2 \u003d 2 * pi / ω 2 = 222 s.

Tas nozīmē, ka sava dzīves cikla beigās šī zvaigzne veiks vienu apgriezienu ap savu asi ātrāk nekā 222 sekundēs.

(kinētiskais moments, leņķiskais impulss, orbitālais impulss, leņķiskais impulss) raksturo rotācijas kustības apjomu. Daudzums, kas ir atkarīgs no tā, cik liela masa griežas, kā tā tiek sadalīta ap griešanās asi un cik ātri notiek rotācija.

Materiāla punkta leņķiskais moments attiecībā pret punktu O nosaka vektora reizinājums
, kur ir rādiusa vektors, kas novilkts no punkta O, ir materiālā punkta impulss.
Materiāla punkta leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu asi ir vienāds ar leņķiskā momenta vektora projekciju uz šo asi, kas noteikts attiecībā pret šīs ass patvaļīgu punktu O. Leņķiskā impulsa vērtība nav atkarīga no punkta O stāvokļa uz ass z.

Stingra ķermeņa impulss attiecībā pret asi ir atsevišķu daļiņu, kas veido ķermeni, leņķiskā impulsa summa attiecībā pret asi. Ņemot to vērā, mēs iegūstam
.

Ja spēku momentu summa, kas iedarbojas uz ķermeni, kas griežas ap fiksētu asi, ir vienāda ar nulli, tad leņķiskais impulss tiek saglabāts ( ) :
.

Stingra ķermeņa leņķiskā impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu spēku momentu summu, kas iedarbojas uz ķermeni:
.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums : slēgtas ķermeņu sistēmas leņķiskais impulss par jebkuru fiksētu punktu nemainās laika gaitā.
Tas ir viens no dabas pamatlikumiem.

Līdzīgi slēgtai ķermeņu sistēmai, kas rotē ap asi z:

No šejienes vai .

Ja ārējo spēku moments attiecībā pret fiksēto griešanās asi ir identiski vienāds ar nulli, tad leņķiskais impulss attiecībā pret šo asi kustības laikā nemainās.
Leņķiskais impulss ir nemainīgs arī neslēgtām sistēmām, ja sistēmai pielikto ārējo spēku radītais moments ir nulle.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums izriet no fiksētā punktā fiksēta ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojuma (4.8. vienādojums) un ir šāds:

Ja iegūtais ārējo spēku moments attiecībā pret fiksētu punktu ir identiski vienāds ar nulli, tad ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret šo punktu laika gaitā nemainās.

Patiešām, ja M= 0, tad dL / dt= 0 , no kurienes

(4.14)

Citiem vārdiem sakot, slēgtas sistēmas leņķiskais impulss laika gaitā nemainās.
No ķermeņa, kas griežas ap fiksētu asi, dinamikas pamatlikuma z(4.13. vienādojums). ķermeņa leņķiskā impulsa ap asi saglabāšanās likums:

Ja ārējo spēku moments attiecībā pret ķermeņa fiksēto griešanās asi ir identiski vienāds ar nulli, tad ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret šo asi kustības procesā nemainās, t.i. ja Mz= 0, tad dLz / dt= 0, no kurienes

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ir dabas pamatlikums. Šī likuma spēkā esamību nosaka telpas simetrijas īpašība – tās izotropija, t.i. ar fizikālo likumu nemainīgumu attiecībā uz atskaites sistēmas koordinātu asu virziena izvēli.

Materiāla punkta impulsa izmaiņas izraisa spēka iedarbība uz to.

Reizinot vienādojumu (1.7) vektorāli pa kreisi ar rādiusa vektoru , iegūstam

Kur ir vektors saucamateriāla punkta leņķiskais impulss , un vektoru – Spēka mirklis. Materiāla punkta leņķiskā impulsa izmaiņas izraisa spēka moments, kas uz to iedarbojas.

Sastāda vairāki ķermeņi, no kuriem katru var uzskatīt par materiālu punktuMateriālo punktu sistēma. Katram materiālajam punktam var uzrakstīt vienādojumu Ņūtona otrais likums

(1.13)

Vienādojumā (1.13) indeksi norāda materiālā punkta numuru. Spēki, kas iedarbojas uz materiālo punktu, ir sadalīti ārējos un iekšējos. Ārējie spēki ir spēki, kas iedarbojas no ķermeņiem, kas nav iekļauti materiālo punktu sistēmā. Iekšējie spēki ir spēki, kas iedarbojas uz materiālu punktu no citiem ķermeņiem, kas veido materiālo punktu sistēmu. Šeit ir spēks, kas iedarbojas uz materiālo punktu, kura indekss ir no materiālā punkta puses ar skaitli .

No vienādojumiem (1.13.) izriet vairāki svarīgi likumi. Ja mēs tos summējam pa visiem sistēmas materiālajiem punktiem, mēs iegūstam

(1.14) ,

Vērtība (1.15)

To sauc par materiālo punktu sistēmas impulsu. Materiālo punktu sistēmas impulss ir vienāds ar atsevišķu materiālo punktu impulsu summu. Vienādojumā (1.14) iekšējo spēku dubultā summa pazūd. Katram materiālo punktu pārim tas ietver spēkus, kas saskaņā ar Ņūtona trešais likums ir vienādi un pretēji vērsti. Katram pārim šo spēku vektora summa pazūd. Tāpēc arī visu spēku summa ir vienāda ar nulli.

Rezultātā mēs iegūstam:

(1.16)

Vienādojums (1.16) izsaka materiālo punktu sistēmas impulsa izmaiņu likumu. Materiālo punktu sistēmas impulsa izmaiņas izraisa tikai ārējie spēki. Ja ārējie spēki uz sistēmu neiedarbojas, tad materiālo punktu sistēmas impulss tiek saglabāts. Materiālo punktu sistēmu, kuru neietekmē ārējie spēki, sauc par izolētu vai slēgtu materiālo punktu sistēmu.

Līdzīgi katram materiālam punktam tiek uzrakstīti impulsu momenta vienādojumi (1.8).

(1.17)

Summējot vienādojumus (1.17) pa visiem materiālo punktu sistēmas materiālajiem punktiem, iekšējo spēku momentu summa pazūd un izrādās Materiālo punktu sistēmas impulsa momenta maiņas likums:

(1.18)

Kur ir ieviesti apzīmējumi:- materiālo punktu sistēmas impulsa moments, - ārējo spēku moments. Materiālo punktu sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņas izraisa ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu. Slēgtai materiālu punktu sistēmai leņķiskais impulss tiek saglabāts

.

vektors, kas vienāds ar rādiusa vektora un spēka vektorreizinājumu,
sauc par spēka momentu.

Līdzīgi spēka momentam tiek noteikts materiāla punkta impulsa moments (impulsa moments). Leņķiskais impulss attiecībā pret punktu O ir vienāds ar

Leņķiskais impulss ap z asi ir sastāvdaļa Lz pa šo leņķiskā momenta L asi attiecībā pret punktu O, kas atrodas uz ass (97. att.):

kur R ir rādiusa vektora r sastāvdaļa, kas ir perpendikulāra z asij, un p τ ir vektora p sastāvdaļa, kas ir perpendikulāra plaknei, kas iet caur z asi un punktu m.

Noskaidrosim, kas nosaka leņķiskā impulsa izmaiņas laika gaitā. Lai to izdarītu, mēs diferencējam (37.1) attiecībā uz laiku t, izmantojot produktu diferenciācijas noteikumu:

Pirmais termins ir vienāds ar nulli, jo tas ir viena un tā paša virziena vektoru reizinājums. Patiešām, vektors ir vienāds ar ātruma vektoru v un tāpēc virzienā sakrīt ar vektoru p=mv. Saskaņā ar otro Ņūtona likumu vektors ir vienāds ar spēku f, kas iedarbojas uz ķermeni [sk. (22.3)]. Tāpēc izteiksmi (37.5) var uzrakstīt šādi:

kur M ir materiālajam punktam pielikto spēku moments attiecībā pret to pašu punktu O, attiecībā pret kuru tiek ņemts leņķiskais impulss L.

No sakarības (37.6) izriet, ka, ja to spēku moments, kas iedarbojas uz materiālo punktu attiecībā pret jebkuru punktu O, ir vienāds ar nulli, tad materiālā punkta leņķiskais impulss, kas ņemts attiecībā pret to pašu punktu O, paliks nemainīgs. .

Ņemot komponentus pa z asi no vektoriem, kas iekļauti formulā (37.6), iegūstam izteiksmi:

Formula (37.6) ir līdzīga formulai (22.3). No šo formulu salīdzināšanas izriet, ka, tāpat kā impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar spēku, kas iedarbojas uz materiālu, impulsa momenta laika atvasinājums ir vienāds ar spēka momentu.

Apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs 1. Ļaujiet materiāla punktam m pārvietoties pa punktētu līniju 96. attēlā. Tā kā kustība ir taisna, materiālā punkta impulss mainās tikai absolūtā vērtībā, un

kur f ir spēka modulis [šajā gadījumā f ir tāds pats virziens kā p (skat. 96. att.), tātad].

Roka t paliek nemainīga. Sekojoši,

kas atbilst formulai (37.6) (šajā gadījumā L mainās tikai absolūtā vērtībā, un tā palielinās, tāpēc ).

Piemērs 2. Materiāls punkts ar masu m pārvietojas pa apli ar rādiusu R (98. att.).

Materiāla punkta leņķiskais impulss attiecībā pret apļa O centru ir vienāds absolūtā vērtībā:

Vektors L ir perpendikulārs riņķa plaknei, un punkta kustības virziens un vektors L veido labās puses sistēmu.

Tā kā roka, kas vienāda ar R, paliek nemainīga, leņķisko impulsu var mainīt, tikai mainot ātruma moduli. Materiāla punkta vienmērīgi kustoties pa apli, leņķiskais impulss paliek nemainīgs gan lielumā, gan virzienā. Ir viegli redzēt, ka šajā gadījumā spēka moments, kas iedarbojas uz materiālo punktu, ir vienāds ar nulli.

3. piemērs. Apsveriet materiāla punkta kustību centrālajā spēku laukā (skat. 26. §). Saskaņā ar (37.6.) materiāla punkta leņķiskajam impulsam attiecībā pret spēku centru jāpaliek nemainīgam lieluma un virziena ziņā (centrālā spēka moments attiecībā pret centru ir nulle). Rādiusa vektors r, kas novilkts no spēku centra uz punktu m, un vektors L ir perpendikulāri viens otram. Tāpēc vektors r visu laiku paliek vienā plaknē, perpendikulāri virzienam L. Līdz ar to materiāla punkta kustība centrālajā spēku laukā notiks pa līkni, kas atrodas plaknē, kas iet caur spēku centru.

Atkarībā no centrālo spēku zīmes (t.i., vai tie ir pievilkšanas vai atgrūšanas spēki), kā arī no sākotnējiem nosacījumiem, trajektorija ir hiperbola, parabola vai elipse (jo īpaši aplis). Piemēram, Zeme pārvietojas pa eliptisku orbītu, kuras vienā no fokusiem atrodas Saule.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. Apsveriet N materiālo punktu sistēmu. Tāpat kā tas tika darīts §23, mēs sadalām spēkus, kas iedarbojas uz punktiem, iekšējos un ārējos. Rezultātā iedarbojas iekšējo spēku moments i-tais materiāls punktu, mēs apzīmējam ar simbolu , ārējo spēku radīto momentu, kas iedarbojas uz to pašu punktu, ar simbolu M i . Tad vienādojums (37.6) for i-tais materiāls punkti izskatīsies šādi:

(i=1, 2,…, N)

Šī izteiksme ir N vienādojumu kopa, kas atšķiras viens no otra ar indeksa i vērtībām. Saskaitot šos vienādojumus, iegūstam:

sauc par materiālo punktu sistēmas leņķisko impulsu.

Iekšējo spēku momentu summa [pirmā no summām formulas (37.9) labajā pusē], kā parādīts §36 beigās, ir vienāda ar nulli. Tāpēc, apzīmējot ārējo spēku kopējo momentu ar simbolu M, mēs varam rakstīt to

[simboliem L un M šajā formulā ir cita nozīme nekā tiem pašiem simboliem formulā (37.6)].

Slēgtai materiālu punktu sistēmai M=0, kā rezultātā kopējais leņķiskais impulss L nav atkarīgs no laika. Tādējādi mēs esam nonākuši pie leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma: slēgtas materiālo punktu sistēmas leņķiskais impulss paliek nemainīgs.

Ņemiet vērā, ka ārējai ietekmei pakļautai sistēmai leņķiskais impulss paliek nemainīgs, ja kopējais ārējo spēku moments, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, ir vienāds ar nulli.

Ņemot no vektoriem vienādojuma (37.11) kreisajā un labajā pusē, to komponentus gar z asi, mēs nonākam pie attiecības:

Var gadīties, ka iegūtais ārējo spēku moments attiecībā pret punktu O atšķiras no nulles (M≠0), bet vektora M komponente M z kādā virzienā z ir vienāda ar nulli. Tad saskaņā ar (37.12.) tiks saglabāta sistēmas leņķiskā impulsa komponente L z pa z asi.

Saskaņā ar formulu (2.1 1)

kur ir vektora projekcija uz z asi un L z ir vektora L projekcija uz z asi . Reiziniet abas vienādības puses ar ort e z z ass un, ņemot vērā to e z nav atkarīgs no t, mēs to ievadām labajā pusē zem atvasinājuma zīmes. Rezultātā mēs iegūstam:

Bet reizinājums e z reizināts ar vektora projekciju uz z ass dod šī vektora z komponentu (skat. zemsvītras piezīmi 132. lpp.). Sekojoši,

kur ir komponents gar asi z vektors .

Leņķiskais moments klasiskajā mehānikā

Attiecības starp momentu un momentu

Definīcija

Daļiņas leņķisko impulsu attiecībā pret kādu izcelsmi nosaka tās rādiusa vektora un impulsa vektora reizinājums:

kur ir daļiņas rādiuss-vektors attiecībā pret izvēlēto atskaites punktu, kas ir stacionārs dotajā atskaites sistēmā, ir daļiņas impulss.

Vairākām daļiņām leņķiskais impulss tiek definēts kā šādu terminu (vektora) summa:

kur ir katras sistēmas daļiņas, kuras leņķiskais impulss ir noteikts, rādiusa vektors un impulss.

(Robežā daļiņu skaits var būt bezgalīgs, piemēram, cieta ķermeņa gadījumā ar nepārtraukti sadalītu masu vai sadalītu sistēmu kopumā to var uzrakstīt kā kur atrodas bezgalīgi maza punktveida elementa impulss no sistēmas).

No leņķiskā impulsa definīcijas izriet tā aditivitāte: gan īpaši daļiņu sistēmai, gan sistēmai, kas sastāv no vairākām apakšsistēmām, ir taisnība:

• Piezīme: principā leņķisko impulsu var aprēķināt attiecībā pret jebkuru atskaites punktu (iegūtais dažādas nozīmes saistīti acīmredzamā veidā). tomēr visbiežāk (ērtības un noteiktības labad) to aprēķina attiecībā pret masas centru vai stingra ķermeņa fiksētu rotācijas punktu utt.).

Griezes momenta aprēķins

Tā kā leņķisko impulsu nosaka šķērsreizinājums, tas ir pseidovektors, kas ir perpendikulārs abiem vektoriem un. Taču gadījumos, kad notiek rotācija ap fiksētu asi, par pseidovektoru ir ērti uzskatīt nevis leņķisko impulsu, bet gan tā projekciju uz rotācijas asi par skalāru, kura zīme ir atkarīga no griešanās virziena. Ja ir izvēlēta šāda ass, kas iet caur izcelsmi, lai aprēķinātu leņķiskā impulsa projekciju uz tās, varat norādīt vairākas receptes saskaņā ar vispārīgie noteikumi divu vektoru krustreizinājuma atrašana.

kur ir leņķis starp un , kas definēts tā, ka griešanās no līdz ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam no novērotāja, kas atrodas uz rotācijas ass pozitīvās daļas, skatpunkta. Aprēķinos svarīgs ir rotācijas virziens, jo tas nosaka vajadzīgās projekcijas zīmi.

Mēs rakstām formā , kur ir rādiusa vektora komponents, paralēli impulsa vektoram un - līdzīgi, perpendikulāri tam. patiesībā ir attālums no rotācijas ass līdz vektoram, ko parasti sauc par "plecu". Līdzīgi impulsa vektoru var sadalīt divās daļās: paralēli rādiusa vektoram un perpendikulāri tam. Tagad, izmantojot vektora reizinājuma linearitāti, kā arī īpašību, ka paralēlo vektoru reizinājums ir vienāds ar nulli, mēs varam iegūt vēl divas izteiksmes par .

Leņķiskā impulsa saglabāšana

Tādējādi sistēmas slēgšanas prasību var vājināt līdz prasībai, lai ārējo spēku galvenais (kopējais) moments būtu vienāds ar nulli:

kur ir moments, kad kāds no spēkiem pieliek daļiņu sistēmu. (Bet, protams, ja ārēju spēku vispār nav, arī šī prasība ir izpildīta).

Matemātiski leņķiskā impulsa saglabāšanas likums izriet no telpas izotropijas, tas ir, no telpas nemainīguma attiecībā pret rotāciju par patvaļīgs leņķis. Rotējot pa patvaļīgu bezgalīgi mazu leņķi, daļiņas rādiusa vektors ar skaitli mainīsies par , bet ātrumi - . Sistēmas Lagranža funkcija šādas rotācijas laikā nemainīsies telpas izotropijas dēļ. Tāpēc

Ņemot vērā , kur ir -tās daļiņas vispārinātais impulss, katru terminu summā no pēdējās izteiksmes var pārrakstīt kā

Tagad, izmantojot jauktā produkta īpašību, mēs veicam vektoru ciklisku permutāciju, kā rezultātā iegūstam, izņemot kopējo faktoru:

kur ir sistēmas leņķiskais impulss. Ņemot vērā patvaļu , no vienlīdzības izriet , ka .

Orbītās leņķiskais impulss ir sadalīts starp planētas pašas rotāciju un tās orbītas kustības leņķisko impulsu:

Leņķiskais moments elektrodinamikā

Aprakstot lādētas daļiņas kustību elektromagnētiskajā laukā, kanoniskais impulss nav nemainīgs. Tā rezultātā arī kanoniskais leņķiskais impulss nav nemainīgs. Tad mēs uzņemam reālo impulsu, ko sauc arī par "kinētisko impulsu":

kur ir elektriskais lādiņš, ir gaismas ātrums, ir vektora potenciāls. Tādējādi uzlādētas masas daļiņas (invariantais) Hamiltona skaitlis elektromagnētiskajā laukā ir:

kur ir skalārais potenciāls. No šī potenciāla izriet Lorenca likums. Nemainīgo leņķisko impulsu jeb "kinētisko leņķisko impulsu" nosaka:

Leņķiskais impulss kvantu mehānikā

Momenta operators

Leņķiskā momenta aprēķins nerelativistiskajā mehānikā

Ja ir materiāls punkts ar masu, kas pārvietojas ar ātrumu un atrodas punktā, ko raksturo rādiusa vektors, tad leņķisko momentu aprēķina pēc formulas:

kur ir vektora reizinājuma zīme.

Lai aprēķinātu ķermeņa leņķisko impulsu, tas jāsadala bezgalīgi mazos gabalos un vektors summējiet to momentus kā materiālo punktu impulsa momentus, tas ir, ņemiet integrāli:

Mēs to varam pārrakstīt blīvuma izteiksmē:

Materiāla punkta leņķiskais moments attiecībā pret punktu O nosaka vektora reizinājums
, kur ir rādiusa vektors, kas novilkts no punkta O, ir materiālā punkta impulss.
Materiāla punkta leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu asi ir vienāds ar leņķiskā momenta vektora projekciju uz šo asi, kas noteikts attiecībā pret šīs ass patvaļīgu punktu O. Leņķiskā impulsa vērtība nav atkarīga no punkta O stāvokļa uz ass z.

Stingra ķermeņa impulss attiecībā pret asi ir atsevišķu daļiņu, kas veido ķermeni, leņķiskā impulsa summa attiecībā pret asi. Ņemot to vērā, mēs iegūstam
.

Ja spēku momentu summa, kas iedarbojas uz ķermeni, kas griežas ap fiksētu asi, ir vienāda ar nulli, tad leņķiskais impulss tiek saglabāts ( leņķiskā impulsa saglabāšanas likums):
.

Stingra ķermeņa leņķiskā impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu spēku momentu summu, kas iedarbojas uz ķermeni:
.

Materiāla punkta rādiusa-vektora un tā impulsa vektorreizinājums: sauc par leņķisko impulsu, šis punkts attiecībā pret punktu O (5.4. att.)

Vektoru dažreiz sauc arī par materiāla punkta leņķisko impulsu. Tas ir vērsts pa rotācijas asi perpendikulāri plaknei, kas novilkta caur vektoriem, un ar tiem veido taisnu vektoru trīskāršu (vērojot no vektora augšdaļas, var redzēt, ka notiek rotācija pa īsāko attālumu no k pretpulksteņrādītājvirzienā).

Visu sistēmas materiālo punktu leņķiskā impulsa vektora summu sauc par sistēmas leņķisko impulsu (impulsu) attiecībā pret punktu O:

Vektori un ir savstarpēji perpendikulāri un atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra ķermeņa rotācijas asij. Tāpēc . Ņemot vērā lineāro un leņķisko lielumu attiecības

un ir vērsta pa ķermeņa rotācijas asi tajā pašā virzienā kā vektors .

Pa šo ceļu.

Ķermeņa leņķiskais impulss ap rotācijas asi

Tāpēc ķermeņa leņķiskais impulss ap griešanās asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta ap to pašu asi un ķermeņa griešanās leņķiskā ātruma ap šo asi reizinājumu.

16. jautājums

Trīs ķermeņu kustības pamatlikumi:

1. likums. Katrs ķermenis saglabā savu miera stāvokli vai vienotu un

taisnvirziena kustība, līdz un ciktāl pielietotie spēki to izraisa

mainīt šo stāvokli. Šo likumu sauc par inerces likumu. Ja m ir masa

ķermenis, un v - tā ātrums, tad inerces likumu var matemātiski attēlot

sekojoša forma:

Ja v = 0, tad ķermenis atrodas miera stāvoklī; ja v = const, tad ķermenis kustas

vienveidīgs un taisns. Produktu mv sauc par ķermeņa impulsu.

Ķermeņa impulsa izmaiņas var notikt tikai tā rezultātā

mijiedarbība ar citiem ķermeņiem, t.i. spēka ietekmē.

2. likums. Impulsa izmaiņas ir proporcionālas pielietotajam dzinējspēkam

spēks un notiek taisnās līnijas virzienā, pa kuru šis spēks darbojas.

Otrais likums ir matemātiski uzrakstīts šādi: F = ma

i., ķermeņa m masas un tā paātrinājuma a reizinājums ir vienāds ar iedarbīgo spēku F.

Vienādojumu (2.14) sauc par materiāla punkta dinamikas pamatlikumu.

3. likums. Darbība vienmēr rada vienādu un pretēju reakciju.

Citiem vārdiem sakot, divu ķermeņu ietekme viens uz otru vienmēr ir vienāda un vērsta uz to

pretējās puses.

Ja kāds ķermenis ar masu m1 mijiedarbojas ar citu ķermeni ar masu m2,

tad pirmais ķermenis maina otrā ķermeņa impulsu m2v2 , nē un sevi

piedzīvo tādas pašas izmaiņas savā impulsā m1v1 no tā, bet

tikai atmuguriski, t.i.

Ņūtona I likums

Ir tādas atskaites sistēmas, kuras sauc par inerciālām, attiecībā pret kurām ķermeņi saglabā savu ātrumu nemainīgu, ja tos neietekmē citi ķermeņi vai tiek kompensēta citu spēku darbība.

Ņūtona II likums

Ķermeņa paātrinājums ir tieši proporcionāls ķermenim pielikto spēku rezultantam un apgriezti proporcionāls tā masai:

III Ņūtona likums

Spēki, ar kuriem divi ķermeņi iedarbojas viens uz otru, ir vienādi pēc lieluma un pretēji virzienam.

17. jautājums

impulsa maiņas teorēma - sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar impulsu summu, kas iedarbojas uz ārējo spēku sistēmu tajā pašā laika periodā.

Masu kustības centra teorēma

sistēma sastāv no n punktiem ar atbilstošām masām .

Mēs rakstām katram punktam dinamikas pamatlikumu

Šī sistēmas kustības diferenciālvienādojumu sistēma, jo jebkuram sistēmas punktam k

Projicējot vienādojumus (16.1.1) uz koordinātu asīm, iegūstam 3n vienādojumus, kurus vispārējā gadījumā ir grūti integrēt,

Tāpēc parasti tiek izmantotas vispārīgās dinamikas teorēmas, kurām vienādojumi (16.1.1.) ir sākotnējie.

Teorēma par sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām: diferenciālā formā: dT = , , ir elementāri ārējo un iekšējo spēku darbi, kas iedarbojas uz punktu, galīgajā formā:

T 2 - T 1 \u003d. Nemainīgai sistēmai un T 2 - T 1 = , t.i. cieta ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņas pie kāda pārvietojuma ir vienādas ar ārējo spēku darba summu, kas iedarbojas uz ķermeni šajā pārvietojumā. Ja saišu reakciju darba summa uz jebkuru iespējamo sistēmas nobīdi ir vienāda ar nulli, tad šādas saites sauc par ideālām. Koeficients noderīga darbība(efektivitāte):< 1, А пол.сопр. – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А затр = А пол.сопр. + А вр.сопр. – затраченная работа, А вр.сопр. -– работа kaitīgie spēki pretestība (berzes spēks, gaisa pretestība utt.).

h \u003d N mash / N dv, N mash - mašīnas lietderīgā jauda, ​​N dv - dzinēja jauda, ​​kas to iedarbina.

Jautājums #18

Galilejas transformācijas ir ierobežojošs (īpašs) Lorenca transformāciju gadījums ātrumiem, kas ir mazi salīdzinājumā ar gaismas ātrumu vakuumā un ierobežotā telpas tilpumā. Ātrumiem līdz planētu ātruma secībai in Saules sistēma(un pat lielāki), Galileo transformācijas ir aptuveni patiesas ar ļoti augstu precizitāti.

Ja ISO (inerciālā atskaites sistēma) S pārvietojas attiecībā pret ISO S" ar nemainīgu ātrumu pa asi un sākumi sakrīt sākotnējā laikā abās sistēmās, tad Galilejas transformācijām ir šāda forma:

vai, izmantojot vektora apzīmējumu,

(pēdējā formula paliek patiesa jebkuram koordinātu asu virzienam).

§ Kā redzat, tās ir tikai formulas izcelsmes maiņai, lineāri atkarīgas no laika (pieņem, ka tās ir vienādas visiem atskaites sistēmām).

No šīm transformācijām izriet attiecības starp punkta ātrumiem un tā paātrinājumiem abos atskaites sistēmās:

§ Galilejas transformācijas ir ierobežojošs (īpašs) Lorenca transformāciju gadījums maziem ātrumiem (daudz mazākam par gaismas ātrumu).

pasaules raidījums

Pirms vairāk nekā simts gadiem parādījās hipotēze par absolūti nekustīgu telpu - pasaules ēteri. Ēteris tika definēts kā sava veida viendabīga barotne, kas pilnībā aizpilda visu vielu un vakuumu. Par to viņu sauca par "pasaules ēteri". Kas ir šī viela un kādas ir tās īpašības, ir noslēpums, taču bija zināms, ka gaisma ēterī pārvietojas tieši tāpat kā skaņa gaisā. Tas ir, viļņa formā. Gaisma tika uzskatīta par pasaules ētera vibrāciju. Tika arī paziņots, ka matērija pārvietojas caur ēteri, to netraucējot, tāpat kā smalks siets ar lielām šūnām pārvietojas ūdenī. Tādējādi matērija un ēteris tika stingri norobežotas.

Miķelsona pieredze

Mihelsona pieredze, eksperiments, kuru pirmo reizi veica A. Miķelsons 1881. gadā, lai izmērītu Zemes kustības ietekmi uz gaismas ātrumu. Negatīvs rezultāts M. apm. bija viens no galvenajiem eksperimentālajiem faktiem, kas veidoja relativitātes teorijas pamatu.

19. gadsimta beigu fizikā tika pieņemts, ka gaisma izplatās kādā universālā pasaules vidē - ēterī. Tajā pašā laikā vairākas parādības (gaismas aberācija, Fizeau eksperiments) lika secināt, ka ēteris ir nekustīgs vai to kustības laikā daļēji aiznes ķermeņi. Saskaņā ar fiksēto ētera hipotēzi, Zemei pārvietojoties pa ēteri, var novērot "ēterisko vēju", un gaismas ātrumam attiecībā pret Zemi jābūt atkarīgam no gaismas stara virziena attiecībā pret tās kustības virzienu ēterā. ēteris.

M. o. tika veikts, izmantojot Miķelsona interferometru ar vienādām rokām; viena roka bija vērsta pa Zemes kustību, otra - perpendikulāri tai. Pagriežot visu ierīci par 90°, staru ceļa atšķirībai jāmainās zīmei, kā rezultātā jāpārvietojas traucējumu shēmai. Aprēķins parāda, ka šāda nobīde, kas izteikta interferences malas platuma daļās, ir vienāda ar D = ( 2l/l)(v 2 / c 2), kur l ir interferometra rokas garums, l ir pielietotās gaismas viļņa garums (dzeltenā līnija Na), Ar - gaismas ātrums gaisā, v ir Zemes orbītas ātrums. Kopš vērtības v/c Zemes orbitālajai kustībai ir aptuveni 10 -4 , tad paredzamā nobīde ir ļoti maza un pirmajā M. o. bija tikai 0,04. Tomēr jau uz šīs pieredzes pamata Miķelsons nonāca pie secinājuma, ka fiksētā ētera hipotēze ir nepareiza.

Nākotnē M. o. tika atkārtots daudzas reizes. Mihelsona un E. W. Morlija (1885-87) eksperimentos interferometrs tika uzstādīts uz masīvas plāksnes, kas peldēja dzīvsudrabā (lai nodrošinātu vienmērīgu rotāciju). Optiskā ceļa garums ar vairāku spoguļu atstarojumu palīdzību tika palielināts līdz 11 m.Šajā gadījumā paredzamā nobīde D " 0,4. Mērījumi apstiprināja M. o negatīvo rezultātu. 1958. gadā Kolumbijas Universitātē (ASV) kārtējo reizi tika pierādīta fiksēta ētera neesamība. Starojuma stari no diviem identiskiem kvantu ģeneratoriem mikroviļņi (mazeri) tika vērsti pretējos virzienos - pa Zemes kustību un pret kustību - un salīdzināja to frekvences. Ar lielu precizitāti (~ 10 -9%) tika konstatēts, ka frekvences paliek nemainīgas, savukārt "ēteriskais vējš" līdz atšķirības parādīšanās šajās frekvencēs par vērtību, kas ir gandrīz 500 reizes lielāka par mērījumu precizitāti.

Klasiskajā fizikā negatīvs rezultāts M. o. nevarēja saprast un saskaņot ar citām kustīgu mediju elektrodinamikas parādībām. Relativitātes teorijā gaismas ātruma noturība visiem inerciālajiem atskaites sistēmām tiek pieņemta kā postulāts, ko apstiprina liels eksperimentu kopums.

Relativitātes teorijas postulāti

1) Visi dabas likumi ir vienādi inerciālās atskaites sistēmās

2) Gaismas ātrums vakuumā ir vienāds visās inerciālajās atskaites sistēmās

Lorenca transformācija, speciālajā relativitātes teorijā - notikuma koordinātu un laika transformācija, pārejot no viena inerciālā atskaites sistēmas uz otru. 1904. gadā Kh. A. Lorencs ieguva kā transformācijas, attiecībā uz kurām klasiskās mikroskopiskās elektrodinamikas vienādojumi (Lorenca-Maksvela vienādojumi) saglabā savu formu. 1905. gadā A. Einšteins tos atvasināja, pamatojoties uz diviem postulātiem, kas veidoja speciālās relativitātes teorijas pamatu: visu inerciālo atskaites sistēmu vienādību un gaismas izplatīšanās ātruma vakuumā neatkarību no gaismas avota kustības.

Apskatīsim konkrētu gadījumu, kad divi inerciālie atskaites rāmji å un å’ ar asis x un x’ atrodas uz vienas taisnes un attiecīgi citas asis ir paralēlas (y un y’, z un z’). Ja sistēma å’ pārvietojas attiecībā pret å ar nemainīgu ātrumu u x ass virzienā, tad L.p. pārejā no å uz å’ ir šāda forma:

,

kur Ar- gaismas ātrums vakuumā (punktētās koordinātas attiecas uz å’ sistēmu, nenoteiktas koordinātas uz å).

L. p. rada vairākas svarīgas sekas, tostarp ķermeņu lineāro izmēru un laika intervālu atkarību no izvēlētās atskaites sistēmas, ātrumu saskaitīšanas likumu relativitātes teorijā un citas. mazs salīdzinājumā ar gaismas ātrumu (u<<c), L. p. pāriet uz Galilejas transformācijām (skat. Galilejas relativitātes principu) , godīga klasiskajā Ņūtona mehānikā

Līdzīga informācija.